这一切起源于我今天看见我们家的那只柯猪躺在储藏室门口，活像一大块才烤好的面包。

它习惯性地把脚缩了起来，一眼看上去就像没有了脚的狗狗虫。似乎很多狗狗都喜欢变成狗狗虫形态，因为经常装可怜而不禁让人感叹真是好可怜的狗……东西（bushi）。

当然，狗狗虫确实很可爱。柯基能最大程度地变成狗狗虫还是因为它底盘太低而且多数身（胖）宽（得）体（像）壮（猪）。假如说是一只大长腿的德国牧羊犬的话，它要变成狗狗虫估计只能小时候略变一变——毕竟要把大长腿完全隐藏起来不出意外应该是练过《九阳神功》之后会缩骨功的。

张无忌：你是不是觉得你很幽默？

言归正传，其实狗和狗狗虫唯一的区别也就是狗有四条腿。如果把狗的四条腿给去掉，或者说，只需把四根腿骨去掉，再把松弛的皮肤拉伸拉伸，狗狗虫就彻底诞生了。

具体形象可以参考狗狗虫的近亲面包狗和香肠狗

有人可能就要问了，啊为什么骨头没了多的皮肉也跟着一起没了呢。刚才说了，要把松弛的皮肤拉伸拉伸，这个所谓的“拉伸”就是关键。换句话说，其实只要不在身上打个洞，狗狗虫并不在乎自己变成了什么形状。狗狗虫唯一关心的是自己皮是否完整。如果还是不能理解这一过程的话，不妨看看下面的图。

去骨，拉伸，bang，魔法让狗狗虫诞生了（迫真画技）

于是我们可以得到狗狗虫的一个特质：狗狗虫不关心自己的腿有多长，它只关心自己圆溜溜的身体有没有损伤。假如说狗狗虫能更“收放自如”一些，比如连嘴巴、尾巴也能“拉伸”，那么它大可以变成——有耳朵的烦人的橙子。

灵魂画技

如果我们把狗狗虫的变化过程严格化，我们就可以得到一类操作的性质：在连续变化物体的过程中并不关心各个部分之间的具体距离，而只关心各个部分的位置和整体的性质，或者说，关心的是连续变化之中不变的性质。毕竟你并没有给狗狗虫打洞，你也没有让狗狗虫的脸上下颠倒。

经常颠倒别人脸的一般叫做毕加索

其实在狗狗虫之外，人们已经做了其它很多逆天的变化操作，最著名的当属甜甜圈变成咖啡杯的例子。

无论是狗和狗狗虫，还是甜甜圈和咖啡杯，有着一个术语来描述它们之间的关系：拓扑等价。“拓扑”这个词你们一定听过，至少也应该听说过和拓扑有关的著名故事“柯尼斯堡七桥问题”。

柯尼斯堡现在是俄罗斯的加里宁格勒，精德可以落一波泪（bushi）

欧拉关于这方面的工作可以认为是拓扑学早期的开端。当然严格来说，要研究拓扑就要引入拓扑空间的概念。拓扑空间的定义列举如下（看不懂没关系）：

设X是一个集合，O是一些的子集构成的族，则(X,O)被称为一个拓扑空间，如果有：

1. 空集和X属于O，

2.中任意多个元素的并仍属于O，

3.中有限个元素的交仍属于O。

X中的元素称为点，O中的元素称为开集。也称O是X上的一个拓扑。

至于什么是拓扑等价，用不那么严格但是比较直观的语言可以给出一种定义，即：存在几个图形，如果每一个可以从其余任一个图形经扭转、弯曲、拉长或收缩得到而不出现任何重叠与断开，则称这些图形拓扑等价，这样的变换称为拓扑变换。这种变换的要点在于是不能改变图形的性质，例如不能把光滑的曲面变出棱角，也不能在没有洞的表面打个洞。所以即使都是一个整体，《Minecraft》的史莱姆和《泰拉瑞亚》的史莱姆就不可能是一家子——毕竟正方体和一坨光溜溜的还是有本质区别的。

绿豆糕和红豆团子（bushi）

在进行变换的时候，拓扑等价的图形具有相同的性质。举个例子，甜甜圈洞的数量就是一个性质。假如说一个图形看起来很复杂，但是如果只是研究这些不变的性质的话，我们完全可以做变换之后让它变得简单，或者说和我们已知的图形一致。那么在经典物理领域，什么东西的形状是最为复杂的呢？按照爱因斯坦的想法，那自然是宇宙啦。（手动狗头）

当然不排除是鲁迅说的

宇宙的问题就在于它太大了，大到没有边边。老爱的广义相对论说，宇宙是个伪黎曼流形，局部等价于平直的闵可夫斯基时空。然鹅就算是闵可夫斯基时空也太大了，难以把握。但是众所周知卖酒的水太深，嘎子把握不住但是潘叔可以。能把握宇宙的人也有，那就是罗杰·彭罗斯。

罗杰·彭罗斯（1931.8.8-），英国数学物理学家，获得2020年诺贝尔奖。

为了方便研究整体时空的拓扑，彭罗斯引入了著名的彭罗斯图，通过变换之后仍然保持变换前的因果性——只是变换之前一般要对原时空做一点小小的手脚，即在坐标变换下进行最大解析延拓。至于什么是解析延拓，简单来说就是一个函数在扩大定义域之后，对应扩充的函数需要在连接处光滑且连续。可以证明，解析延拓是存在且唯一的。闵可夫斯基时空较为简单，可以不需要进行解析延拓。取球面度规：

特定的坐标变换：

可将度规写成：

由于实际上的参数r并不能取到负值，时空只能是新坐标系中的一部分，所以它的彭罗斯图长这样：

闵可夫斯基时空的彭罗斯图上边界和交点代表了不同意义的无穷远（r=0这个边界是个例外），由于变换采取的是共形变换——共形变换并不是拓扑变换，只是在彭罗斯图中这两者一致——这些边界和交点也被称作“共形无穷远”。实际上由于无穷远代表的是一种趋势而并非具体值，所以无穷远并不在时空内部，这些边界和交点也不能算彭罗斯图的一部分，这样才能算保持了拓扑性质*。在变换之后的彭罗斯图里，因果性得到保留，测地线在重新选择参数之后仍然是测地线。由于一个二维的平面图肯定不能反映一个四维的时空，因此彭罗斯图内的每一点实际上都是一个二维球面。

实际上闵可夫斯基时空的彭罗斯图可以继续延拓成上图，只不过延拓之后的时空称为爱因斯坦静态宇宙，和闵可夫斯基时空的拓扑就不一样了。

那这会儿就有人要问，啊这是闵可夫斯基的平直时空，弯曲的黎曼时空怎么办呢？不如来看一个著名的例子：史瓦西时空。

卡尔·史瓦西与史瓦西解，该解描述一个静止的、不带电的、球对称的天体外部的引力场。

首先同样经过一些奇奇怪怪的坐标变换（过程太复杂就不放上来了），我们同样从球度规变换到了一个新的度规：

这个度规称为克鲁斯卡尔度规，坐标T和R被称作克鲁斯卡尔坐标。最大延拓意味着T和R这两个参数都可以取到整个实数集。实际上由于存在奇点r=0和无穷远，延拓后的时空只是克鲁斯卡尔坐标系的一部分。在此基础上，同样可以画出时空延拓之后的彭罗斯图。

克鲁斯卡尔坐标系里的最大延拓史瓦西时空（左）和彭罗斯图

彭罗斯图中的Ⅰ区是原始的时空区域（黑洞之外的），Ⅰ’区是时间反演区。Ⅱ区和Ⅱ’区分别称为黑洞区和白洞区，它们中间的连接点称为“喉”，也被称作虫洞（就是营销号经常会提到的那个虫洞）。

我打赌你已经无数次听说过虫洞，但是应该没想到这玩意儿能在这里出现。

这样通过保持拓扑的变换，一个很大很大的时空就被限制到一个六边形里，时空的因果仍然得到保留，对于接近无穷远处甚至奇点的事情也能指着一个点说出它的演化趋势了。即使对于更复杂的时空，例如史瓦西-反德西特时空、克尔时空等等，彭罗斯图仍然能够大大简化时空的图像——因为克尔解的最大延拓本身是十分难以画出来的——并很好地描述时空本身，不得不说是十分有力的工具。

自上而下：史瓦西-反德西特（Schwarzschild-(anti-)de Sitter）时空的彭罗斯图、雷斯勒-诺斯特朗姆（Reissner-Nordström）时空不同情况下的彭罗斯图、克尔-纽曼（Kerr-Neuman）时空不同情况下的彭罗斯图

当然，彭罗斯图只是拓扑等价关系在物理里的一小点应用而已。此外凝聚态理论里有能带拓扑，量子场论里有拓扑场论等。可以想见拓扑研究物理必然是极为有力的工具。

PS：养狗要注意体重哦，我们家的已经开始锻炼了，大家不要催啦~~~

*：此处根据梁灿彬老师的说法，无穷远和奇点不作为彭罗斯图的一部分。也有一些老师，例如高能所的黄超光老师，将其视作彭罗斯图的一部分，那么讨论拓扑性质时需要去掉。

参考资料：

[1]（美）James·R·Munkres. 拓扑学[M]. 第二版. 机械工业出版社, 2004.

[2]  黄超光. 广义相对论课程讲义. 中国科学院高能物理研究所 中国科学院大学物理学院近代物理系

[3] Robert·M·Wald. General Relativity[M]. 第一版. The University of Chicago Press, 1984.

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