什么是自由?量子力学VS牛顿力学

如果有人问你什么是自由,你该怎么回答?

很多人会认为:无忧无虑,想去哪里就去哪里,想在什么时间干什么就干什么,就是真正的自由。

而反过来,你的不自由具体有哪些呢?

经过深思熟虑之后会发现,不自由包含两方面:

一是你的行为受到时间或空间的限制。

例如,你不能在某个时间段内干某件事,或者只能在某个时间段干某件事。

二是某种压力或推动力令你无法停歇。

例如,作为一枚鸡娃,你的父母每天都给你鼓劲,为了将来考个好大学,除了睡觉吃饭,你都在拼命学习。

若转到物理问题,不自由的情况相应也有两种。

第一种情况,物体的运动受到限制,或者说约束。它是通过一类叫约束力(也称约束反力)的作用来实现的。

在约束力的作用下,描述物体运动的变量满足一些方程,方程越多,解出的未知数就越多,剩下的独立变量就越少了。

如果有  个质点,理论上讲,它的每个质点的位置需要3个独立坐标(  ,  ,  )来确定,那么  个质点一共需要  个变量来描述。

假设它们一共受到  个约束,由于每个约束对应一个方程,一个方程理论上可确定一个变量,这样就一共确定  个变量,那么最终剩下的独立变量的个数为 我们称这些独立变量的个数  为体系的自由度。 

例如,由  个粒子组成的体系,若粒子在振动,但整体固定不动,则自由度为  ,为什么呢?留给读者自己想一想。

第二种情况,物体受到外力驱动,或者说受主动力作用。例如自由落体受到的重力、拖箱受到的水平拉力都是主动力。

约束力和主动力合在一起就是外力。所以,不自由的两种情况归根结蒂是一种机制所导致的,它就是外力作用。

总的说来,自由意味着不受外力,而不受外力的物体是自由的。

那么具体来讲,这种不受力而导致的自由是怎样一番图景呢?

牛顿第一定律回答了这个问题:不受力的物体将保持静止或匀速直线运动状态。

换句话说,自由的物体的将保持静止或匀速直线运动状态。

但你发现没有,这个自由其实有多么不自由!

试想,当我们说“一只鸟儿在空中自由的飞翔”时,难道是指它在一条直线上匀速地飞?显然不是!我们是指它随意地在任何地方飞,它往哪里飞都一样可能。

因此,若是真的自由,物体应该能出现在空间中任何地方!这是一个没受到牛顿第一定律影响的、具有正常逻辑思维的人对自由的直观理解。

但牛顿第一定律给出的自由却是:它要不呆在那里不动,要不就沿着一条直线匀速移动,只不过二选一罢了。

当然,你可能也会说,这很正常啊,自由不是绝对的,总要受到底层物理规律的约束。例如能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律等等。

既然物体不受外力作用,那么按照动量守恒定律,它的动量不变,由于动量是矢量,动量守恒意味着运动的方向不变!所以物体只能有两种可能的选择:静止或匀速直线运动。

实际上,在宏观世界中,没有,也不可能有破坏牛顿第一定律的事情发生,要不然,牛顿力学早就被抛弃了!

看来,宏观世界中自由的确只能如此了!

那么,微观世界中的自由也是如此吗?

要知道,牛顿定律只适用于宏观世界,对微观粒子来说,它们服从量子力学的规律,而量子力学中并没有与牛顿第一定律一致的说法。

那么,在微观世界中,自由的粒子真的可以到处出现吗?

答案是:真的可以!量子力学给出的结果正是如此。

虽然量子力学总是那么不可思议的违反我们的直觉,但同时,在很多问题上,它却又与人类最一般的直觉完美符合!而自由粒子的运动规律就是其中的一个例子。

那么,具体来讲,量子力学中的自由粒子到底是怎么回事呢?

在量子力学中,粒子的状态是用波函数来描述的。而根据波函数的统计诠释,波函数的模的平方(简称模方)代表粒子在空间某点出现的概率。如果你想预测它将在哪里出现的机会最大,你只要按照波函数的模的平方来计算就可以了。

你只有一次机会找到它,无论你在哪里发现它,并不说明它是从另外某处赶过来的,因为它本来就在那里。虽然它其实也在其他的地方,但你的观测让它的波函数在它被发现的位置坍塌。

有一点值得强调的是,粒子并没有在空间中弥散开来,它是以整体按波函数的模方决定的概率分布在空间中各处。所以当它在某处被发现时,它将作为一个完整的个体被获得,拥有它的本来属性,包括电荷、质量和自旋等。

既然是自由粒子,那么理所当然,它在空间任意点出现的机会是一样的。所以,它不会停在某个地方不动,也不会沿着一条直线匀速运动,而是以相同的几率出现在空间任何一点。

看到没——以相同的概率出现在空间任何一点!试问,世界上还有比这更完美的自由吗?

有的人可能会有一些不切实际的“奇思妙想”,例如他觉得“随时随地想去哪里就去哪里,而且马上就到”才是真正的自由。

拜托,这可不是物理中的自由!恰好相反,这根本不是自由,因为这种“来去的自由”依赖于粒子的速度(因为要快)和加速度(因为要随时调换方向),粒子必然时刻受到强大外力的作用,怎么可能是物理上的自由呢?

在量子力学中,物理上的自由就是不受时空地限制,粒子能出现在所有的地方。并且再加了一个条件——相同的概率!

你可能觉得这个条件是画蛇添足,因为你可能想更多的呆在某个地方,呆在另一些地方的机会少一点,或者你甚至想随意的改变处在某点的概率,但现在却是同样的概率,这看起来不够自由啊!

这种想法与上面那个“奇思妙想”一样,不是物理中所说的“自由”,而是不自由。

说了这么多,你应该明白:量子力学中所给出的自由粒子所享有的自由是物理中最真正、最彻底的自由。而相比起来,牛顿第一定律中所说的那个自由不是真正的自由。

现在你可能有一个疑问:既然是自由粒子,它的动量守恒。那么,其动量应该始终沿某个方向,那它不一直沿着某个直线运动吗?如果这样的话,它哪有机会在整个空间中到处乱跑?

没错,自由粒子动量守恒,也就是说,粒子的动量的确是朝着某个方向。但是,这并不意味着粒子总是沿着某个方向运动!

按照量子力学的统计诠释,粒子只是神不知鬼不觉的突然出现在你探测到它的地方,你不需要也无法知道它是从哪里过来的,因为它在不同地方出现的概率是同时性的。它的整体随时可以出现在空间中任何一点。

所以,自由粒子并不会因为动量守恒而被限制在一个点或一条线上,它在空间各处出现的机会是均等的,它的状态是一种彻底的自由状态。

最后再来看看,满足这种概率均匀分布特征的自由粒子的状态描述是怎样的?又是如何得到的?

前面提到了,量子力学用波函数描述粒子状态,而波函数是量子力学的基本方程——薛定谔方程的解。所以,我们要描述自由粒子,就必须求解薛定谔方程。

薛定谔方程的基本形式为

其中  代表来自外界的作用。既然现在是自由粒子,则  ,所以自由粒子满足的薛定谔方程为 它的解是 

这就是自由粒子的波函数。根据波函数的统计诠释,在空间任意点发现粒子的概率密度为 这说明,在任意点发现粒子的概率是相同的。

说明:既然是自由粒子,其所在空间是无限大的,而粒子在每个地方又具有相同的发现概率,那么这个概率只能为零。因此,自由粒子不可能是定态。但这不影响自由粒子在空间各处概率相等这一结论。

根据德布罗意关系式 

以及  可得 这个波在  时刻的等相面为 其中  是波面上的点的位矢在波矢上的投影值。对相同的时刻  ,  是定值,说明等相面都是平面,所以自由粒子的波函数具有平面波的形式。 

需要说明的是,虽然经典的平面波的波函数还可以写成实数形式——  或  函数的形式,但作为含有虚数  的薛定谔方程的解,自由粒子的波函数必须是复数形式。实际上,只有这样才能保证粒子概率均匀分布的要求,因为正弦或余弦函数的模方对空间依然是周期起伏的。

关于自由粒子的波函数的一件有意思的事情是,很多人喜欢利用自由粒子的波函数来“反推”薛定谔方程。

因为人们凭直觉相信,自由粒子的波函数应该具有平面波的形式。对此波函数求时间和空间偏导,可得到能量和动量的平方分别满足 

联合经典力学中动量与能量之间的关系 就可得到一个等式,该式正好是自由粒子所满足的薛定谔方程。 在此基础上考虑到能量中应包含势能  ,这样就得到任意粒子所满足的薛定谔方程了。

之所以这里用带引号的“反推”,因为薛定谔方程现在被认为是量子力学的一条基本假设,是无法从别的结论推得的。也就是说,任何试图推导薛定谔方程的做法本身是没有意义的——虽然你的确可以用这种“反推”的方法找回你大脑中遗忘的薛定谔方程。

综上所述,关于自由的哲学观点,量子力学比牛顿力学先进多了!

其实,岂止自由这件事,在几乎所有方面,量子力学都比牛顿力学更先进和深刻。它被认为是人类洞察自然世界的最高成就。迄今为止,它的理论完美地描述了这个世界,虽然目前人类还无法真正理解它的本质。

参考文献

Griffiths, David J.; Schroeter, Darrell F. (2018). Introduction to Quantum Mechanics(Third ed.). Cambridge University Press.

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