今年春晚

魔术师刘谦表演了

一个与纸牌相关的魔术

精妙的设计带给观众极高的参与感

许多人纷纷拿出家中的扑克牌

跟着刘谦一起“见证奇迹”

“小尼的扑克牌没对上”

也登上了热搜

这个魔术“奇迹”的背后

有着怎样的奥秘？

当春晚还在进行中

北京大学数学科学学院

2021级本科生刘明昊、李新宇、殷子萦

2022级本科生王秭如、黄天铭、王美潭

2023级本科生潘浩翔、王伟圣

便写出一篇科普文章

从数学的角度

带大家感受这一魔术的魅力

魔 术 步 骤 

首先，准备4张扑克牌

跟随魔术步骤

来一起“见证奇迹”

步骤 1

将准备好的4张扑克牌

平均撕成两份

并叠在一起

步骤 2

将牌堆顶数量为

名字字数的牌

移至牌堆底

步骤 3

将前三张牌放在牌堆中间

并取出牌堆顶的牌

放置在一旁

步骤 4

取出牌堆顶的若干张牌

插入牌堆中间

此处选择的牌数为

南方人取1张，北方人取2张

若不确定是南方人还是北方人取3张

步骤 5

男生扔掉牌堆顶1张

女生扔掉牌堆顶2张

步骤 6

执行“见证奇迹的时刻”循环

每说一个字

就取出牌堆顶一张牌放置在牌堆底

步骤 7

执行如下操作

从牌堆顶开始

每次先将牌堆顶的一张牌放在牌堆底

再扔掉牌堆顶的一张牌

重复以上操作直到只剩一张牌

检查此牌和放置在一旁的牌是否吻合

若吻合，则魔术成功

魔 术 揭 秘 

怎么样，你的扑克牌对上了吗？

下面，几位北大同学将按照步骤顺序

一步步为你揭秘背后的逻辑

步骤一

我们令选择的四张扑克牌分别为1234，将他们分别撕开后，产生了标号分别为1234的两套（半张）扑克牌，叠在一起后形成了从上至下标号分别为12341234的扑克牌堆。

步骤二

此时我们可以注意到，无论我们将牌堆顶的多少张牌移到堆底，得到的扑克牌堆编号（从上至下）都只会有以下几种结果：

12341234（名字字数被四整除）

23412341（名字字数模四余一）

34123412（名字字数模四余二）

41234123（名字字数模四余三）

观察以上可能的牌堆，我们可以发现产生的牌堆都具有以下性质：1. 前四张牌和后四张牌的顺序完全一样2. 前四张牌和后四张牌分别是1234的一个轮换

步骤三

从这一步开始，我们只考虑当前牌堆中排在第四及第八的两张牌，记为X，其他牌记为0。那么根据上一步的讨论，可以得到当前的牌堆形如：

000X000X

将前三张放在牌堆中间后，无论这三张放在什么位置，最终产生的牌堆都将是：

X000000X

于是乎，被选择的用于配对的牌就将是X，而另一张与之配对的牌（称为目标牌）将位于牌堆底。

步骤四

在上一步之后，牌堆的编号为000000X，于是，无论本轮中选择牌堆顶多少张牌插入牌堆中，都不会影响目标牌的位置，仍然处于牌堆底部。

步骤五

此时男生的牌堆为：00000X女生的牌堆为：0000X

步骤六

通过尝试可知，在经过步骤六后将得到如下的牌堆：

男生：0000X0女生：00X00

步骤七

通过上述揭秘

相信大家不难看出

这个魔术的背后

其实是一个数学上的问题

它被称为约瑟夫问题

约瑟夫问题

设有编号为1，2，......，n的n个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈。再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈......按照这个规则进行下来，直到所有人全部出圈为止。求最后留下来的人编号。

为了使问题简化，我们考虑n个人编号为0 ~ n-1的情况，每 m 个人退出一个人，我们称之为（n, m）问题。

第一个人（即编号为在模n下同余m的人）退出之后，对剩下的 n-1 个人重新编号，则新问题的k号在原问题中对应 k+m 号。因此（n, m）问题的解 J (n, m) = J (n-1, m)+m 且 J (1, m) = 1（模n意义下）。据此，通过递推的方法可以得到 J (n, m)。

在实践中，约瑟夫问题一般用代码进行求解。刘谦的魔术中使用的便是 m=2 的特殊情况。

那么主持人小尼

为什么失败了呢？

一起来看看背后的原因

根据上面的证明过程，我们不难发现：在步骤3与步骤4中，如果操作正确，每位主持人手中最底部的一张牌没有变化，而这恰好是步骤7后留下的一张牌。

然而，在进行步骤4时，注意尼格买提的手上动作：

镜头捕捉到插入过程中，原本位于底部的牌面花纹被另一张牌覆盖，也就是说，尼格买提并未按要求将两张牌放入中间位置，从而导致他最终匹配的失败。

听完北大同学的讲解

你理解魔术背后的数学问题了吗？

来源：北京大学、北京大学融媒体中心、北京大学数学科学学院、央视网