2022年7月27日12时12分，由中国科学院力学研究所抓总研制的“力箭一号”（ZK-1A）运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射。
采用“一箭六星”的方式，成功将六颗卫星送入预定轨道，“力箭一号”运载火箭首次飞行任务取得圆满成功。作为中小型卫星发射优先选择，丰富了我国固体运载火箭发射能力谱系。
“力箭一号”运载火箭，是中科院力学所抓总、中科宇航公司参与研制的首型固体运载火箭，是我国当前最大的固体运载火箭。在运载能力、入轨精度、设计可靠性、性价比等方面迈入世界固体运载火箭领域先进行列。
该款火箭是四级固体运载火箭，起飞重量135吨，起飞推力200吨，总长30米，芯级直径2.65米，首飞状态整流罩直径2.65米，500公里太阳同步轨道运载能力1500公斤。
“力箭一号”发射成功
那么，火箭为什么要设计成多级的结构，单级又有什么限制？所以今天我们就这里涉及的变质量运动学来分析分析其原理。
火箭在飞行时会不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，其质量会不断减小，动力学方程不能用普通的牛顿第二定律形式来描述，为使得问题简单化，我们先不考虑重力（并非重力不重要，而是在发射过程中它通常是不可变的阻力部分）。
假设火箭在真空中不受任何外力，喷出的气体为相对速度 vr 大小恒定不变方向与火箭运动方向相反，在某时刻火箭系统的质量为 m 速度为 v ，在下一时刻喷出去的气体质量为 dm ，相对速度为 vr ，火箭系统的质量为 m-dm ，速度为 v+dv ，则有动量定理：
略去高阶小量为：
设火箭系统初始时刻v=v0，m=m0，积分得
从中我们可以看到，火箭能获得的速度增量由两部分决定，一是喷出气体的速度，二是火箭初始质量比燃烧后的质量。其中对于喷出气体速度，我们尽可能在燃料选择和喷管设计上使其达到更高的值；而对于第二部分的质量比，理论上燃料装得越多，速度增量也就越来越大，但是我们可以看到后面是对数的形式，对数函数增长速度是越来越缓的，也就是说燃料带得越多，速度增量的效率越来越低，而且燃料越多，装燃料用的壳体也要越大，任何时候火箭的反推力也要使壳体产生同样的速度增量，这部分其实是“不必要”的，是浪费的，限制了火箭速度得提高。于是在此基础上，便诞生了多级火箭，当第一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作。
有了一级火箭的基础，我们来考虑二级火箭，假设它由三部分构成：一级火箭，二级火箭，主体部分。其中一级火箭质量为 m1 ，所带燃料质量为 km1 （k为燃料质量比燃料与壳体质量和，通常可看作常数），二级火箭质量 m2 ，所带燃料质量为 km2 ，主体部分质量为 mp 。则第一级火箭喷射完，速度增量为
当二级火箭喷射完，速度增量为
如果我们取 m1=m2=50mp，k=0.8，vr =3000m/s，则可以算得总速度增量
而如果我们只用一级火箭，使用同样质量火箭和燃料，速度增量只有约4711m/s。
上面的二级火箭系统是在一级与二级火箭质量相等的情况下算得的，我们还需要解决的一个问题是如果一级与二级火箭总质量 m 不变，如何分配 m1 与 m2 的值能使速度增量最大呢？思路是把 v1 与 v2 相加后对 m2 求导，在导数等于0处求解其质量，这里计算过程比较复杂，我们直接给出近似结果
我们仍然取上面的数据，近似为 m1=90mp，m2=10mp，则可以算得总速度增量
又比上面等分的情况大得多。
现在我们考虑一般情况，火箭主体质量为mp，各级火箭的质量分别为
当第i级火箭喷射完获得的速度增量为
记
则总速度增量可表示为
那么问题又来了，在质量一定的情况下，如何分配各级火箭的质量能使总速度增量最大呢？或者反过来说，我们通常把火箭主体送入预定轨道的速度是已知的，如何选择各级火箭的质量使得火箭整体的质量最小呢？这里先展示结论：就是要火箭每一级燃烧完毕后产生的速度增量都相同，写成表达式即对于任意的 i，j 都满足
推导过程如下，（不感兴趣的可以跳过）：
首先有恒等式
则
对上式取对数
通常火箭主体 mp 的质量是给定的，在预定速度 vsum 下，
m 的最小值，我们使用拉格朗日乘子法，作函数需满足条件
解得
可以发现此时
这便是要求火箭每一级燃烧完毕后产生的速度增量都相同。
（证明结束）
欲将主体质量为 mp 的人造地球卫星送入轨道，需要达到第一宇宙速度7.8km/s，如果取k =0.8，vr =3000m/s，我们看看各级火箭最少需要的质量 m ：
当 n=1 时，需满足
解得 m <0 ，即此条件下一级火箭不可能达到速度7.8km/s.
当 n=2 时，需满足
解得
当n=3时，需满足
解得
同理计算可得
当n=4时
当n=5时
当n越大，对于质量减少的贡献也会越来越少，而把各级火箭连接到一起的技术成本则会越来越大，所以一般发射人造地球卫星常采用2级或3级火箭,对于高轨道的人造地球卫星(如地球同步卫星)、月球探测器、行星和行星际探测器等常采用4级火箭则足够了。
参考文献：
哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学(II).第8版[M].北京：高等教育出版社，2016：156-163
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来源：力学科普
编辑：藏痴
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