不少人觉得，波与其他的物理内容不同，看起来很抽象。这一点从它在物理课中的归属就可以看出，波既不属于力学，也不属于光学和电磁学，但却几乎和所有的物理分支都有关。

与振动研究物理量的周期变化不同，波描述的是一种无形的东西的运动，这个东西是振动状态。广义的波是关于物理量的振动状态在空间中的如何传播的学问。

打个比方，你开始发奋学习了，你的舍友也开始受到影响，然后隔壁宿舍也跟着开始发奋了，隔壁的隔壁后来也受到影响。这种“发奋学习”的状态由你开始，影响很多同学。这种现象就是一种类似于“波”的传播现象，所传播的是一种状态——放下电子游戏而拿起书狂学习！

由于你并没有亲自跑到你的隔壁的隔壁的隔壁那里去鼓动那些人学习，你的学习状态只是被别人看到，然后逐渐影响更多人而已。并且，不同宿舍的这种状态的启动是依次滞后的，也就是说，越远的那些宿舍，越晚开始行动。

再比如，在看球时，你挥手，你的邻座也跟着一起挥手，然后下一个邻居也跟着这样做，逐渐，挥手的动作传到了很远的地方，形成了人浪游戏。这也是一种波的现象，它传播的是挥手的动作。

在将挥手动作传给远处的人时，你并没有站起来走过去，但你的动作被远处的人重复着。并且同样的，越远处的人越晚开始挥手。

实际上，如果挥手一直持续——形成周期运动，那么这个人浪就是真正的波动，它的特点是：不同的位置都在周期运动，虽然节奏一致，但步调不同，越远处越滞后。关于这一点，下面这个图看起来更清楚。

所以，波是振动状态由近及远的传播，持有不同振动状态的空间点本身并没有沿着这种传播方向而移动。

01

振动：用周期函数描述

那么什么是振动状态？

对机械振动，振动状态就是质点的位置和速度。

质点的位置，就是以平衡时的位置为原点记录的坐标。而根据运动学，速度当然就是位置的时间变化率——也就是导数。

可见，只要搞清楚质点位置随时间变化的情况，也就是位置-时间函数，那么它的状态就搞清楚了。

描述质点位置随时间变化的函数就是运动方程。对于机械振动来说，它是周期性的，所以描述它的函数应该是周期函数。

例如物理量  ，它的函数为  ，设周期为  ，那么 一周期内，物理量完成一次完整振动。单位时间内的完整振动的次数叫频率，用  表示，它等于  。

那么，现在用周期函数描述了怎样的振动状态呢？

周期函数  给出了  时刻物理量的值，如果需要，还可以获取物理量随时间的变化率的值  。这些值一起确定了  时刻的振动状态。

那么，这个函数如何获得呢？简单的说，它是作振动的物理量所满足的时间微分方程的解。例如描述简谐振动的函数就是受回复力作用的质点满足的牛顿方程的解。

由于本文的主旨是讨论振动在媒质中的传播，所以就不涉及如何求解振动方程的问题。

02

波：振动状态的传播

波在媒质中传播时，振动的点并没有随之移动，那么它传播了什么呢？

本文最开始就说过，波是振动状态的传播。

那么，状态是如何被传播的呢？

波的传播是沿着一定的方向，以一定的速度进行的，这个方向叫做波线，而这个速度叫波速，用  表示。它的定义是：波的振动状态在单位时间内沿波线向前传播的距离。

那么，这个波速由什么决定呢？

简单的说，它是由波的类型和媒质的性质共同决定的。例如，同样是水中，光波比机械波快。而同样是声波，在固体中比空气中传播快。

特别的，对机械波来说，媒质的密度和弹性性质决定波长。

波速这个概念与之前学过的速度不同，因为它不是实际物体的运动速度。它传播的是振动状态——一种非物质的东西。因此，波速的大小不受相对论约束。

对理解波的传播来说，不用太纠结于波速的细节，你只需要将它当作一个常数，是媒质的状态运动的速度，这就够了！

好，现在来看，这状态到底是怎么从一个点传到另一个点的。

假设  时刻，波线上一点  点振动的运动学方程为（为什么用  表示函数变量？因为  已用于表示波线上的点的坐标） 

这里的  体现了振动的初始条件的影响。  及其导数在  时刻的值给出了  点在  时刻的状态。

设某点  在  沿波线方向的前方，二者之间的距离为  。按照波速的概念，振动状态从  传到  需要的时间为 

这说明，当再过  的时间，  当前的状态就传到  了。 

换句话说，  在  时刻的状态就是  在  时刻的状态。而反过来，  在  时刻的状态就是  在  时刻的状态。

具体就是，  在  时刻拥有了  在  时刻的物理量值和物理量时间变化率的值。其中物理量的值为这个好理解吧？典型的中学数学中函数的概念的运用嘛！

由于  是任意时刻，所以上式也就给出了  在任意时刻的物理量，所以它就是  振动的运动学方程。

如果将  的表达式代入，得  的运动学方程为

设  轴从  指向  ，则 

故  的运动学方程也可写为 很显然，根据上面的方法，只要你能获得媒质中一个点的运动学方程，你就可以获得所有点的运动学方程。

为什么？

因为所有点除了坐标  不同，其他都一样啊！

因此，你只要将上面例子中的  换成一个任一点  ，那么你就得到一个适合于任意一点  的运动学方程 既然这个函数表示了任意点的在任意时刻的振动情况，那么它就等于描述了媒质中的全体质点的振动情况，把它作为描述波的函数就是不二选择，我们称之为波函数。

这种基于一个已知点  的运动学方程来获得波函数的方法，叫时间滞后法。它的特点是，选择的一个任意未知点  处在已知点  沿着波线方向上。

若未知点在已知点沿波传播的反方向上，只要将上面式中  后面的那个减号换成加号即可，此时的方法叫时间超前法。

由于波函数是通过求任意点的运动学方程来获得的，它们共用同一个外壳函数  ，那么自然的，波也就拥有了与振动一样的周期和频率。

03

波长的概念

现在可以讲一下波长  了。

根据波长的定义，波长是指波线上两个状态相同的点之间的最短距离。

设已知点  本来处在某个状态  ，从此刻开始，它的状态往前传播了整数（用  表示）个周期  。根据波速的概念，这个状态  所到达的位置  与  之间的的距离为 很显然，此时  恰好回复到状态  ，这说明  就是两个状态相同的点之间的距离。显然，它的最小值是当  时取得的，这正好就是波长的定义，因此 

有了波长的概念，那么上述波函数也可以写成 

04

回到简谐波

你可能觉得奇怪，为什么全文基本没怎么讲到简谐波呢？

很多人学习波的时候，不理解相位的概念，导致对波理解不到位。讲到简谐振动和简谐波就不可避免地要讲到相位。

本文基于振动状态传播的思想，从振动的运动学方程出发，只根据中学所学的函数的概念就推导出波函数，避免涉及相位的概念。

但实际上，相位还是很重要的。后面可以考虑再根据相位再来讲波的本质：波是状态的传播，而相位又决定状态，所以波也就是相位的传播，波速就是相速度。

如果将上述过程中的函数  换成简谐振动的函数  ，也就是用上面的波函数  里的那一坨东西代替这里面的  ，那么就得到简谐波的波函数为 由于  的周期为   ，代入上式即可得 设  ，则又可以写成 这样就得到了熟悉的简谐波的波函数了。 

05

波函数的物理图像

看看我们的波函数，它有两个变量，时间和坐标，他俩都在变化，给出一副动图。既有振动，也有振动状态沿着波线的传播，前者是实际的物体的运动，后者是一种状态的运动，如下图。

或者像这样

或者更简单的简谐波，像这样

不过，严格来讲，像下面这样的图，用来描述波就不太合适！

为什么呢？

因为这给人感觉就像一根弯曲的铁丝平行移动（脑补一下通电螺线管的移动），这当然不是波啊！因为波的媒质并没有随着波一起运动。

而像下面这种，也不属于本文所说的波，因为根本没有状态的传播，各个点都是自顾自的在振动而已。

上图这种效果是由两个沿相反方向传播的等幅相干波叠加所导致的。由于两个波的传播速度刚好等大反向，从而导致了一种静态的波，故称驻波（standing wave）。为了避免混乱，本文所讲的波有时也被称作行波（travelling wave)，以区别于这种波。

如果将坐标取定值，那得到媒质中一个点的运动学方程，它给出的是一副动图，就是一个点在那里来回运动，描述它的图像叫振动图像。与波形图不同，它的横坐标是时间。

如果将时间取定值，那么它就给出了媒质中所有的点的位置，它的图像叫波形图，注意，它必须是静止不动的！因为时刻是确定的。例如

或者像如下简谐波的波形图。与振动图像不同，波形图的横坐标给出的是质点在波线上的坐标。