伟大的物理学家赫尔曼·外尔曾说过：“我的工作总是试图将真与美结合起来，但当我不得不选择其中之一时，我通常会选择美。”有一种观点认为，数学美是通往真理的强大引导力，提出的物理定律的方程越漂亮，它就越有可能代表现实。但也有人认为，现代理论物理学，尤其是弦理论，几十年来一直被美的魅力所吸引，这也许是过去半个世纪缺乏重大突破的原因。

正如我们看到的，赫尔曼·外尔本人因对美的执着而误入歧途。然而，他并不是第一个被这种抽象的美概念引导并试图猜测世界的数学行为的人。一个典型的例子是我们对行星运动的理解。

在托勒密的第一项努力中，行星以复杂的圆圈系统围绕地球运行，这些圆圈又嵌入了圆圈内，这被我们称之为本轮，它是当时解释行星逆行运动所必需的，但这造成了混乱。哥白尼的日心说将太阳置于中心，行星以圆形绕太阳运动。然而，要提高轨道预测的精确度，他也必须添加一个又一个的本轮，这与他原始模型的优雅背道而驰。事实证明，托勒密和哥白尼同样被美的偏见所吸引，这里是圆的数学完美。

行星轨道是椭圆形的，而不是圆形的。开普勒的行星运动三定律可以说远没有哥白尼的简单模型那么优雅，但它背后有一个极其简单、优雅的定律——牛顿万有引力定律。不仅开普勒的复杂定律可以从牛顿推导出来，而且牛顿引力的预测远远超出了行星的运动。

但即使是牛顿引力也被证明是更深层次定律的一个特例。爱因斯坦的广义相对论方程在描述引力时给出了比牛顿定律更好的精度。广义相对论也比牛顿更具解释性，它告诉我们引力是空间和时间弯曲的结果。然而，广义相对论的方程是出了名的复杂。不过，大多数深入研究过场方程的人都发现它非常优雅，但要定义这种优雅感从何而来并不简单。

托勒密、哥白尼、开普勒、牛顿、爱因斯坦在理解引力的漫长探索中，每个人都遵循自己的数学美感。但这个过程似乎不稳定，甚至对物理学来说是危险的。为什么这种追求有时如此强大，但有时又如此令人担忧呢？要理解这一点，我们需要考虑数学美的含义。

就像任何领域的美一样，它本质上是一种主观感觉，很难定义。但是让我们想一想数学可以被认为是美丽的一些方式。对于托勒密和哥白尼来说，某种数学形式在本质上比其他形式更美丽。在他们的情况下是圆形轨道，圆的几何对称看起来很美。

但是在物理学中，当我们谈论对称性时，我们的意思是物理定律不会因某种变换而改变。宇宙确实遵循深刻的、潜在的对称性，这些对称性反映在所有复杂性的尺度上。我们充分利用这些对称性来推导我们的物理定律，因此这些方程具有一些潜在对称性的美感也许不足为奇。

如果物理定律简化为一个紧凑的表达式，它也可能被认为是美丽的。如果一组丑陋的表达式被简化为一个或几个简单的定律来解释广泛的现象，那感觉非常有说服力。这与简约原则有关，也称为奥卡姆剃刀原则。可以这么说，其他条件相同，简单的解释通常比更复杂的解释更好。

奥卡姆剃刀的核心是这样一种观点，即我们在世界中观察到的极端复杂性，源于几个简单的潜在原因的作用。牛顿的万有引力定律就是一个很好的例子，当他意识到月亮和苹果的运动都可以用同一个数学来解释时，我们可以肯定，牛顿感受到了一种美感。

那么，基本现实是否由最简单的可能相互作用或关系所代表，可以用最简单的可以想象的数学陈述来表达？如果是这样，追求数学的简约是否会无情地引导我们走向最基本的驱动力？从开普勒到牛顿的步骤表明了这一点，但是为什么当你从牛顿到爱因斯坦更深一层时，复杂性似乎会增加呢？这可能是引用爱因斯坦本人的话的好时机：“所有理论的最高目标是使不可约的基本元素尽可能简单和尽可能少，而不必放弃对单一经验数据的充分表示。”换句话说，无论我们的理论多么漂亮和简约，如果它与实验数据所衡量的现实不符，那我们就走得太远了。

爱因斯坦的同时代人之一似乎不同意爱因斯坦。量子力学的主要创始人之一保罗·狄拉克说：“让一个方程具有美感比让它们适合实验更重要。”他的意思是，一个实验可能会给出不正确的结果，从而错误地抹黑一个真实的假设。但是，如果物理定律在数学上是丑陋的，那么你可以确定它是错误的。狄拉克最著名的结果正是来自这种对数学美的追求，他试图建立一个符合爱因斯坦狭义相对论的量子力学波动方程。

最初结果是狄拉克的代数看起来像狗啃的一样，只能用丑来形容。但随后对创始假设的简单修改导致这种混乱崩溃成一种极其优雅的形式。由此产生的狄拉克方程是对电子行为的完全正确的相对论量子描述。狄拉克知道他走在正确的轨道上，这是基于一种抽象的感觉，即宇宙的基本法则应该是优雅的。

诺贝尔奖获得者物理学家弗兰克·威尔切克谈到了一种数学之美，如果你得到的比你投入的多，那么物理定律的方程就是美丽的。也就说说，它预测或描述的世界比最初用来推导定律的更多。狄拉克方程就是一个很好的例子。还有麦克斯韦方程，它简洁地结合了电和磁，但也预测了电磁波——光的存在。然后是爱因斯坦的广义相对论场方程，它们是根据最简单的思想实验得出的——电梯实验。