地上有一个m行n列的方格，从坐标 [0,0] 到坐标 [m-1,n-1] 。一个机器人从坐标 [0, 0] 的格子开始移动，它每次可以向左、右、上、下移动一格（不能移动到方格外），也不能进入行坐标和列坐标的数位之和大于k的格子。例如，当 k为18 时，机器人能够进入方格 [35, 37] ，因为3+5+3+7=18。但它不能进入方格 [35, 38]，因为3+5+3+8=19。请问该机器人能够到达多少个格子？

示例

• 输入：m = 2, n = 3, k = 1
• 输出：3

提示

• 1 <= n,m <= 100
• 0 <= k <= 20

解题思路

本题与 矩阵中的路径 类似，是典型的 搜索 & 回溯问题。在介绍回溯算法算法前，为提升计算效率，首先讲述两项前置工作： 数位之和计算 、 可达解分析 。

数位之和计算

由于机器人每次只能移动一格（即只能从 x 运动至 x±1），因此每次只需计算 x 到 x±1 的数位和增量。本题说明 1≤n,m≤100 ，以下公式仅在此范围适用。

数位和增量公式：

• 设 x 的数位和为 sx，x+1 的数位和为 s(x+1)；
• 当 (x+1)%10=0 时： s(x+1) = sx − 8 ，例如 19, 20 的数位和分别为 10, 21；
• 当 (x+1)%10 =0 时：s(x+1) = sx +1 ，例如 1, 2 的数位和分别为 1, 2 。

以下代码为增量公式的三元表达式写法，将整合入最终代码中。

(x + 1) % 10 != 0 ? s_x + 1 : s_x - 8;

可答解分析

根据数位和增量公式得知，数位和每逢 进位 突变一次。根据此特点，矩阵中 满足数位和的解 构成的几何形状形如多个 等腰直角三角形 ，每个三角形的直角顶点位于 0,10,20,... 等数位和突变的矩阵索引处 。

三角形内的解虽然都满足数位和要求，但由于机器人每步只能走一个单元格，而三角形间不一定是连通的，因此机器人不一定能到达，称之为 不可达解 ；同理，可到达的解称为 可达解 （本题求此解） 。

根据可达解的结构和连通性，易推出机器人可 仅通过向右和向下移动，访问所有可达解 。

• 三角形内部： 全部连通，易证；
• 两三角形连通处： 若某三角形内的解为可达解，则必与其左边或上边的三角形连通（即相交），即机器人必可从左边或上边走进此三角形。

方法一：深度优先遍历 DFS

• 深度优先搜索： 可以理解为暴力法模拟机器人在矩阵中的所有路径。DFS 通过递归，先朝一个方向搜到底，再回溯至上个节点，沿另一个方向搜索，以此类推。
• 剪枝： 在搜索中，遇到数位和超出目标值、此元素已访问，则应立即返回，称之为 可行性剪枝 。

代码如下：

复杂度分析

• 设矩阵行列数分别为 M, N。
• 时间复杂度 O(MN)： 最差情况下，机器人遍历矩阵所有单元格，此时时间复杂度为 O(MN) 。
• 空间复杂度 O(MN)： 最差情况下，visited 内存储矩阵所有单元格的索引，使用 O(MN) 的额外空间。

方法二：广度优先遍历 BFS

• BFS/DFS ： 两者目标都是遍历整个矩阵，不同点在于搜索顺序不同。DFS 是朝一个方向走到底，再回退，以此类推；BFS 则是按照“平推”的方式向前搜索。
• BFS 实现： 通常利用队列实现广度优先遍历。

代码如下：

复杂度分析

• 设矩阵行列数分别为 M, N。
• 时间复杂度 O(MN)： 最差情况下，机器人遍历矩阵所有单元格，此时时间复杂度为 O(MN)。
• 空间复杂度 O(MN)： 最差情况下，visited 内存储矩阵所有单元格的索引，使用 O(MN) 的额外空间。

END

本文内容出处是力扣官网，希望和大家一起刷算法，在后面的路上不变秃但是变强！

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