一个未拉伸的弹簧，一端固定在墙壁上，另一端系着一个质量为m的块状物体。如果我们拉动这个弹簧块并将弹簧延长一定距离x，弹簧会对质量块施加恢复力F，试图使质量块恢复到平衡位置。我们会发现，恢复力F与伸长量x成正比我们可以将其写成：

其中负号代表伸长量与恢复力的方向相反。

我们可以通过引入比例常数k来将关系转换为等式，这个常数k也被称为弹簧系数，是衡量弹簧刚度的一种量度。

考虑一下，如果把弹簧拉长后释放会出现怎样的情况？根据牛顿第二定律，弹簧力会导致质量加速，因此我们可以用ma代替弹簧力F，并重新排列成如下公式：

上面这个公式实际上描述了一种特殊的运动类型：简谐运动，它是宇宙中各种振动的核心，为了更深入了解这个公式，我们将其写为二阶微分形式。

因此，结合加速度的二阶形式与胡克定律，我们就有了以下公式：

这个微分方程描述了弹簧的位移随时间的变化，我们知道它的解为：

然后，我们再将其两次微分后代入微分方程中：

因此，我们可以得到该系统的圆频率或周期：

我们还关心系统的总能量，它等于动能和势能之和，可以列出下式：

注意到ω与k的关系k=mω^2，我们可以得到总能量的公式：

到目前为止，这些都是些典型的推导，相信大家都已经滚瓜烂熟了。接下来，我们将把量子力学加上去。

零点能量

真空中的最低能量称为零点能量，量子力学认为它非零，它是不确定性原理所要求的最小值。不确定性原理认为，我们不能同时精确地测量粒子的动量和位置，它的公式如下：

​

以弹簧系统为例，如果弹簧未伸展且处于静止状态，那么我们就精确地知道它的位置和它的动量，显然与不确定性原理相悖，所以量子弹簧存在最低能量的振荡。为了计算弹簧系统的最低能量，我们需要对能量公式进行些微修改：

我们将上式中能量E替换成ΔE，动量p替换成Δp，x替换成Δx，代入不确定性原理的公式中：

​​

由于能量不随x的变化而变化，所以我们有：

​​

我们可以得到：

​​

把它重新代入方程并简化，得到：

​​

因此，我们可以得到量子振荡器的最低能量为：

​​

卡西米尔效应

简单来说，在真空中的两片不带电金属板之间会产生吸力，这就是卡西米尔效应。量子场论认为，空间中都是振动的场，这些振动的场在金属板之间要满足边界条件，只有驻波才能存活下来。也就是说，只有整数倍波长等于板间距L的才能存活(nλ=L)，其中n为整数，写成公式如下：

​​

把所有这些波长的能量都相加起来，就有：

现在，问题就变成所有自然数之和等于多少了？我们经常在网上看到一个奇怪的结果，很多人都说它是不对的，实际上它来自数学家拉马努金：

问：我们是否可以把它带进去呢？这里就留给你们思考，请留下你的评论。