热力学经典教科书中一个现象级的错误

刘全慧

湖南大学物理与微电子科学学院

磁介质的热力学部分有一个非常精彩的结果，简单而深刻。三小步就可以推出这个结果。

第一步，从热力学基本方程出发，

dU =TdS-pdV+μ0Hdm

（1）

其中T,S,p,V分别为温度，熵，压强和体积，m=VM为总磁矩，H为磁场强度，μ0为真空磁导率。

第二步，施行勒让德变换把内能U换成吉布斯函数G=U-TS+pV-μ0Hm，取吉布斯函数的微分，得

dG=-SdT +Vdp-μ0mdH

（2）

第三步，由于G对p和H的二阶导数具有次序无关性，有如下(麦克斯韦)关系

（3）

等式的左边是磁致伸缩，右边是压磁效应。热力学把这两个不同的效应联系起来了。这是何等神奇！每次讲到这个地方，我都几乎要赋诗一首，参见图1。

图1 我在智慧树平台上在讲解这个结果时的截屏。请跳过这一页。

和学生一起，我还专门写过一篇文章，赞美了这一个结果，参见图2。

图2 我们的文章中认为关系式是一个热力学中的一个华彩结果

一本经典教科书“认证”了这个结果，而且持续使用了超过了四十年的时间，参阅图3，可能有数以十万的学生和老师熟悉它。

图3 汪志诚《热力学•统计物理》第三版第94页，第六版内容相同

直到昨天（2023年10月9日）晚上，我才惊觉这个结果可能有问题，不过问题有些隐蔽。

从电动力学可知道，对静磁场中的线性介质，磁相互作用能量密度元dw是

dw = μ0HdM

（4）

热力学关心的是对整个磁介质的磁场功，功元dwB是，

（5）

如果在磁化每个时刻，磁化强度M都不依赖于空间点，有

dWB =Vμ0HdM

（6）

一般来说，体积V是磁化强度M、温度T和压强p的函数。只有体积是一个常数的时候，才有如下形式的磁功元

dWB=μ0Hd(VM) =μ0Hdm

（7）

这就是热力学基本方程（1）中的最后一项的来源。但是，磁致伸缩的时候，体积和磁化强度同时改变，也就是总磁矩m的微小改变分为两部分

dm=d(VM)=MdV+VdM

（8）

这也是（1）式中引入体积变化功的原因。但是，（1）式把MdV这一项直接忽略了，就不再是严格的热力学基本方程。出发点出了问题，结果（3）就是可疑的。

细致而深入地研究这个问题不过不是本文的目的。但是，不妨简单地探讨结果（3）近似成立的条件。正确的热力学基本方程是，

dU = TdS - pdv + Vμ0HdM

= TdS - pdV +μ0Hdm -μ0HMdV

（9）

如果如下条件成立

∣p∣≫∣μ0HM∣

（10）

则（9）中的最后一项可以忽略，（1）式近似成立，即

dU≈TdS - pdV + μ0Hdm

（11）

（3）式也就是在这个条件下成立的一个近似关系

（12）

近似条件（10）没有任何一般性，导致了式（12）的应用范围很狭窄。作为一个近似关系，结果（3）显然就失去了光彩。我的线上课程中，对这一部分的讲解，要做相应的订正，建议初学者直接跳过。

当然，在热力学中，磁功的表达式不是一个容易处理的问题。全国热力学与统计物理课程教学研究会副理事长、南京大学邢定钰院士说过，他在《大学物理》上发表的唯一一篇论文，也许是邢先生唯一一篇教学研究论文，就是讨论磁功的表达式问题。因此，当遇到磁功的时候，从第一性原理出发，结果具体的物理实际，小心翼翼地处理。

为什么说是一个现象级的错误? 1，问题能长期存在，人人难辞其咎。指出这个错误，也不能使得数以十万计的学生和老师立即认识到这一点。在一段时间内，热力学的考试甚至考研的时候，可能还会碰到这个题目。2，物理学家大多是“美颜控”。不仅结果（3）形式实在优美，而且出发点的功元满足功元的普适形式dW=ydX，其中为y强度量，X为广延量。人人都喜欢漂亮，而对于漂亮结果不容易回过头去细究这个结果成立的条件。3，现在已经知道这个错误，回过头去想，可以从多种角度发现这个错误！例如，欧美教材没有这个结果。5，如何对待教科书的内容选择和编排? 如何对待教科书中的问题？如何衔接不同教科书中内容? 等等问题值得我们深思。

作者简介：湖南大学教授、岳麓学者，全国热力学与统计物理课程教学研究会副理事长，国家级一流课程热力学与统计物理主讲教师。