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《储能科学与技术》推荐|潘庭龙等：锂电池分数阶建模及SOC估计策略

日期： 来源：储能科学与技术收集编辑：李路路 陶正顺等

作者：李路路(), 陶正顺, 潘庭龙(), 杨玮林, 胡官洋    

单位：江南大学

引用： 李路路,陶正顺,潘庭龙等.锂电池分数阶建模及SOC估计策略[J].储能科学与技术,2023,12(02):544-551.

DOI：10.19799/j.cnki.2095-4239.2022.0551

摘 要 为了提高锂电池模型的精度，实现锂电池状态的精确估计，本工作在二阶RC等效电路的基础上建立了锂电池的二阶分数阶电气模型，并采用自适应遗传算法实现分数阶模型的参数辨识，加快了算法收敛速度，缩短了辨识时间，避免陷入局部最优解，提高了模型参数精度；在分数阶电气模型的基础上，采用了一种基于施密特正交变换思想的无迹粒子滤波的状态估计方法，与传统的无迹粒子滤波算法相比，在采样点选取过程中，采用一种标准采样与施密特正交变换相结合的办法，对对称采样的粒子进行筛选，减少了采样点的数量，提高了计算效率，并能有效避免由于系统的非线性引起的估算结果发散或单一使用粒子滤波而引起的粒子数短缺。仿真结果表明所建立的锂电池分数阶电气模型能更精确描述锂电池的充放电动态特性，所提出的状态估计策略精度相比于常规控制策略具有更高的精度，系统鲁棒性提高，可以在误差仅为1%的范围内估计锂电池的SOC，并提高了计算效率，易于算法的实时实现。
关键词 锂电池；分数阶；荷电状态；施密特正交变换；无迹粒子滤波算法
环境污染、能源安全等问题频繁发生，推动了世界各国对新能源的开发和利用，其中，加快发展混合动力、纯电动等新能源汽车是缓解此类问题发生的有效手段之一。动力电池是新能源汽车动力系统的重要组成部分，其能量存储和释放主要通过化学反应进行，荷电状态(state of charge，SOC)影响了其安全性和动态特性。随着时代的发展，SOC估计已经引起广泛关注，成为了研究热点。
锂离子电池在日常使用时会出现很多复杂的物理化学反应现象，由于无法直接检测其内部情况，因此采用建立电池模型来间接反映其内部的情况。随着时代的进步，对电池建模的方法主要分为两类：等效电路模型和电化学模型。锂电池的电化学模型能够近似模拟电池在运行时发生的化学反应，虽然其模型的精度很高，但是参量、计算量和复杂程度都比较高，而且很难获得，常常只是用于电池部分的标量的测试；等效电路模型由于其模型建立相对简便，在车辆模拟、SOC、SOH估计、电池管理系统中得到了广泛的使用。虽然等效电路模型能够精确反映电池的动力学过程，但模型RC的阶次对其精度有很大的影响，低阶整数阶等效电路模型无法满足精度要求，而高阶整数阶等效电路模型会导致模型结构变得更加复杂、参数辨识增多、运算速度降低。研究表明，无论是电化学模型还是整数阶等效电路模型，都无法满足SOC模型的精度、响应速度和鲁棒性等方面的需求。而建立分数阶电气模型，采用分数阶RC等效电路为参考，能够精确描述锂离子电池在使用过程中系统的非线性变化，减小电池模型的误差。
荷电状态SOC是锂离子电池系统管理的关键技术，其准确估算有利于预测系统的工作时间，并以此制定适宜的电池充放电方式，从而为电池系统的安全提供保障。传统的SOC估算方法，如安时积分，具有简单、易于实现等优点，但存在着由于长时间的积分运算造成误差积累、SOC初始值很难确定等问题。随着时代发展，通过搭建电池的等效模型并运用无迹粒子算法来描述锂电池的荷电特性，已经成为SOC研究领域的热点。文献[12]利用粒子滤波对无迹卡尔曼滤波进行修正，即无迹粒子滤波(UPF)，相较于常规SOC估计算法，UPF估计SOC的精度有着明显提升，但并未考虑粒子匮乏等问题的影响。文献[13]采用了一种改进的无迹卡尔曼粒子滤波算法提高锂电池SOC估计的精度，将标准采样与噪声结合起来，减小了噪声对系统精度的影响，提高了算法估计精度。文献[14]建立了基于一阶戴维南(Thevenin)模型，针对传统粒子滤波算法估计SOC精度不高，采用了一种优化的粒子滤波算法，提高了系统鲁棒性，减小了误差。
本工作针对在SOC估计中由于电池模型、传统粒子滤波算法估计SOC精度不高等问题，引入了一种基于施密特正交变换的分数阶无迹粒子滤波算法。首先对锂离子电池搭建二阶分数阶等效电路模型，然后利用离线的自适应遗传算法辨识出模型未知量，其次采用标准对称采样与施密特正交变换思想相结合的办法，减少采样点，减小了计算量，并在此基础上结合分数阶无迹粒子滤波算法估计锂电池的SOC。根据MATLAB仿真结果，证明了基于施密特正交变换的分数阶无迹粒子滤波算法(FOSOUPF)估计电池SOC的精度较常规控制策略具有更高的精度。

1 分数阶电气模型

1.1　分数阶建模

由于电化学模型的复杂程度及计算技术的限制，使得许多研究者将注意力转向了其他类型的建模——等效电路模型。当前，为了使该系统在嵌入式微处理机上实现精确计算，需要在其复杂性与精度间寻求一种均衡。本工作选择建立分数阶电气模型，其结构简单、计算方便，并能够比整数阶模型更精确描述锂离子电池在使用过程中系统的非线性变化，减小了电池模型的误差。
戴维南模型是由理想电压源、内阻及n组RC网络构成，也被称作n阶RC等效电路模型，若将理想电容C换成分数阶电容Ccpe，为了降低模型复杂性并提高模型精度，故采用分数阶二阶等效电路，如图1所示。

图1   分数阶二阶RC等效电路
在图1所示的分数阶模型中，Uocv为理想电压源，R0为电池内阻，R1和R2为RC网络中纯阻性阻抗，电容和为分数阶相位角元件，m、n为分数电容器元件的阶数，U为该分数阶二阶RC电路输出端电压，I为该分数阶模型输出电流。
在分数阶二阶RC模型中，分数电容器元件的阻抗可定义为

(1)
通过对式(1)进行拉普拉斯逆变换，得到了分数电容器阻抗的微分形式，如式(2)所示，该式描述了流过分数电容器的电流与流过分数电容器的电压之间的时域关系。

(2)
根据基尔霍夫电压定律，可得

(3)
因此，分数阶二阶RC电路电压的微分方程表达式为

(4)
将电池在充放电过程中荷电状态变化表示为SOC(t)，其微分形式描述为

(5)
式中，η为锂离子电池充放电的效率，在此取为1；Qn为锂离子电池的额定负荷容量。
因此，分数阶锂离子电池电气模型的状态空间方程式：

(6)

1.2　参数辨识

遗传算法(GA)是以“优胜劣汰”为原理的随机搜索法，遗传算法是利用全局搜索方法，在演化过程中不需要考虑梯度信息，而先从随机生成的初始群体出发，传统的遗传算法在求解过程中，往往会遇到一些问题，比如收敛速度太慢，很容易陷入局部最优解。本工作采用一种改进的自适应遗传算法，该方法通过调整适应度函数的数值，及时调整交叉和变异的概率，从而提高了算法的整体性能。
自适应遗传算法的基本步骤：
（1）将模型参数组进行编码，以随机选择的方法选出部分个体作为初始种群，并确定群体数目与迭代上限S；
（2）根据式(7)对选取的初始种群开展适应性检测，剔除不符合条件的个体；
（3）对适应性较高的个体开展自由变异、交叉繁衍操作(自由变异概率Pm、交叉繁衍概率Pc)，由此产生新的群体；
（4）将产生的新种群重复进行步骤(2)与(3)，直至产生满足所需适应度的最优解或达到最大迭代次数F为止，输出最优解。
（5）将最优解进行解码，即模型参数值。
适应性函数H(i)如式(7)所示：

(7)
式中，M为所测的群体内个体个数；Ye(j)为测试的输出；Yr(j)为目标输出。
步骤(3)中的自由变异、交叉繁衍概率可表示如下：
以初始种群适应性的最大值与平均值为评价标准，使交叉概率Pc和变异概率Pm随个体适应性H(i)的大小自动调整。

(8)

(9)
式中，Hmax为初始种群中适应度最大值；Havg为初始种群适应度的平均值；λ1为交叉概率系数；λ2为变异概率系数。

2 基于施密特正交变换无迹粒子滤波算法的SOC估计

2.1　基于分数阶无迹粒子滤波(FOUPF)的SOC估计策略研究

卡尔曼滤波算法是求解非线性系统状态估计中最常见的方法，但是在求解非高斯非线性系统时，没有考虑到其存在的系统误差分布，并且认定状态误差可以由一个独立的线性系统来实现，因此存在着很大的偏差，甚至有发散的可能性。无迹卡尔曼滤波是一种以无迹变换为基础的滤波算法，它无需对其进行线性化处理，因而可以更准确地估算出荷电状态。粒子滤波克服了在求解非线性滤波器时，随机变量必须符合高斯分布的约束，可以用于任何非线性非高斯随机系统，并已在很多方面得到了成功的应用。而无迹卡尔曼与粒子滤波结合起来可以尽量避免粒子退化问题，从而提高对锂离子电池状态估算的精度。
首先根据分数阶电池模型空间状态方程搭建一个新方程，它被定义为式(6)的基础上关于SOC的函数，把不能直接测得的SOC值当作状态变量，分数阶模型的端电压作为观测变量，将该方程离散化得：

(10)
式中，；； ；加权系数矩阵 ；状态向量；k是离散时间点；θk-1为锂电池系统噪音；νk为锂电池系统测量噪声。
然后，结合分数阶锂电池模型的状态空间方程，利用分数阶无迹粒子滤波算法(FOUPF)估计锂电池SOC的步骤如下：
（1）初始化

(11)

(12)
（2）计算Sigma点(k=0,1,2...)
产生了由2L+1个Sigma点组成的矩阵，Sigma点为Χk

(13)
（3）时间更新过程
每个Sigma点通过非线性的系统状态方程进行非线性转换：

(14)
通过加权得到状态的进一步预测：

(15)
通过加权得到方差阵的进一步预测：

(16)
每个Sigma点通过观察方程进行非线性转换：

(17)
通过加权得到系统的进一步观测值：

(18)
（4）量测更新
系统输出方差阵：

(19)
计算协方差阵：

(20)
计算滤波增益阵：

(21)
得到状态更新后的滤波值：

(22)
求解状态后验方差阵：

(23)
（5）重要性采样：k=1, 2, …, N
建议分布函数：

(24)
从建议分布函数中采样粒子并计算权重：

(25)
（6）归一化权值

(26)
（7）重采样
计算有效粒子数目

(27)
若，则重新采样，生成更新粒子，重采样后的粒子权值均为1/N。
根据重采样更新粒子滤波值：

(28)
（8）更新SOC

(29)
（9）令k=k+1，返回(2)，至k=N为止，输出SOC。

2.2　基于FOSOUPF的SOC估计策略研究

由于在FOUPF算法中，采用了标准对称采样的方法，其采样点是对称的，导致算法运算量成倍增加。针对FOUPF算法以随机采样方法而导致的难题，本工作在无迹卡曼粒子滤波的基础上，采用施密特正交变换思想对选取的采样点进行筛选，减少了采样点的数量，提高了计算效率，实现基于施密特正交变换的分数阶无迹粒子滤波算法(FOSOUPF)的锂电池状态估计。
结合FOUPF算法和施密特正交变换思想，FOSOUPF具体步骤总结如下。
初始化：k=0
从先验分布中产生样本

(30)

(31)
FOSOUKF滤波：k=1, 2, …, N
在UKF采样过程中将标准对称采样与施密特正交变换结合起来，其采样结果减少一半，这种采样方法称为施密特正交变换采样。其选取准则如下。
（1）确定Sigma权值。

(32)
（2）对于输入维数j=1, 2 , …, N时，迭代公式为：

(33)
式中，为迭代关系；j为维数。
（3）将Sigma点与系统状态X的均值和协方差信息

(34)
式中，为系统均值；为系统协方差；为迭代关系。
FOSOUKF选取Sigma点

(35)
后续步骤同FOUPF算法流程一致。
FOSOUPF流程如图2所示。

图2   估计算法流程
FOSOUPF与FOUPF计算量对比见表1。根据表1可以清晰看出FOSOUPF的计算量大大减少，易于算法的实时实现。

表1   FOUPF与FOSOUPF计算量的对比


3 仿真及实验结果分析

为了验证本算法与建立的分数阶模型是否具有较高的精度等优点，并确保数据的真实性，本论文实验数据来源于江苏海基新能源股份有限公司，实验选取10组INR18650-30Q型锂离子电池并联作为研究目标，其单个电池端电压与容量分别为5 V与3020 mA。在室温、SOC初始值为1、采样间隔时间为0.1 s的条件下利用电池测试平台对研究目标进行充放电实验，根据实验结果记录该锂离子电池的充放电数据。根据实验数据，使用MATLAB运行自适应遗传算法代码与FOSOUPF滤波算法代码。
根据电池测试平台实验数据利用MATLAB运行自适应遗传算法，参数辨识结果见表2。

表2   参数辨识结果


图3(a)是INR18650-30Q型锂离子电池对比波形图，图中黑色虚线是利用电池测试平台实测的端电压波形，黑色实线是本工作所建立的分数阶模型代入充放电实验数据与模型参数所得的端电压波形，在波形对比图中根据局部放大图可以明显看出本工作所建立的分数阶模型端电压波形与实测电池端电压变化曲线基本切合，说明本工作建立的分数阶模型能更好拟合电池的阻抗特性，减小了电池模型的误差。由图3(b)可以看出该方法最大误差仅为4%。

图3   电池模型仿真曲线
为了测试FOSOUPF在设定的SOC初始值与真实值不同时是否具有自我恢复能力，实验设定SOC的初始值分别为1、0.9、0.75，其MATLAB运行结果如图4(a)、(b)所示：当设定的SOC初始值与真实值不同时，FOSOUPF算法可以很快收敛至真实值附近，其估计SOC的精度在收敛后也维持在1%以内。图4(c)、(d)分别为当SOC初始值为1时，3种不同方法的SOC对比波形图与SOC误差对比，从中可以明显看出FOSOUPF估计SOC的误差最小，其算法精度明显优于FOUPF和分数阶无迹卡尔曼滤波算法(FOUKF)。

图4   SOC估计波形图
如5(a)、(b)所示：FOSOUPF为基于施密特正交变换的分数阶无迹粒子滤波算法，SOUPF为基于施密特正交变换的整数阶无迹粒子滤波算法，将本工作引入的施密特正交变换与无迹粒子滤波算法相结合的方法应用在整数阶模型与分数阶模型中，两者估计SOC的精度都较高，说明本工作所引用的方法适应性较高，但运用在分数阶模型中精度更高。

图5   不同模型下的SOC估计波形图
表3为在设定不同SOC初始值情况下3种滤波方法的性能对比，其中SOUPF为基于施密特正交变换的整数阶无迹粒子滤波算法。根据表3对比所示，验证了本工作所提出的FOSOUPF算法估计SOC具有较高精度的优点，同时降低了所建锂电池二阶分数阶模型的误差。当SOC初始值不同时，本工作所提出的FOSOUPF估计方法依旧保持着比另外两种算法更高的精度，所建立的分数阶电池模型依旧保持着较高精度，具有很好的鲁棒性。

表3   3种滤波算法性能对比(均方根误差)


4 结论

本工作采用一种基于分数阶理论的锂离子电池建模方法，来模拟电池在充放电过程中的动态特性，并通过分数阶模型状态空间方程的离散形式，将SOC定为状态变量，在采样过程中利用无迹卡尔曼滤波的标准对称采样与施密特正交变换思想结合起来，对采样点进行筛选，减小了算法计算量，通过FOSOUPF算法进行锂离子电池的状态估计。根据MATLAB仿真实验发现；所建立的分数阶模型可以更精确地描述锂电池的充放电动态特性，具有很好的鲁棒性，经对比分析3种不同的滤波算法可知，本工作所提的FOSOUPF算法在精度上要优于FOUPF和FOUKF，并且相对于常规无迹粒子算法而言减小了计算量，可以在误差仅为1%以内的范围估计锂电池的SOC，具有较好的实用价值。

第一作者：李路路（1996—），男，硕士研究生，研究方向为储能技术，E-mail：577493796@qq.com；

通讯作者：潘庭龙，教授，研究方向为新能源控制发电技术、储能技术，E-mail：tlpan@jiangnan.edu.cn。

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