柯尔莫哥洛夫在莫斯科大学培养了很多数学家，他们中有不少人成为了国际知名的学者；柯尔莫哥洛夫其实还热衷于高中的数学教育，自己也会给学生上课，并深入思考数学教育应有的形式。

撰文 | 伊藤清

当得知1987年10月20日，苏联伟大的数学家柯尔莫哥洛夫教授与世长辞的消息时，我宛若失去支柱一般，无比哀伤与寂寞。自学生时期（1937 年）读了他的名著《概率论基础》并立志研究概率论以来，我在这条道路上坚持了五十余年，对我来说，柯尔莫哥洛夫就是我研究数学的基石。

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三面之缘

我只与柯尔莫哥洛夫教授有过三面之缘。第一次见面是在1962年国际数学家大会（斯德哥尔摩）上。开幕式开始前，我在大厅闲逛，耳边突然传来了亲切的声音：“Ito? Kolmogorov.”（是伊藤吗？我是柯尔莫哥洛夫。）我虽吃了一惊，但欣喜异常。他用德语问我多大了，我回答：“Sieben und vierzig.”（47 岁。）他又问：“DreiBig ？”（30 岁？）这么问恐怕是因为日本人大多看起来年轻，我大概看起来也比实际年龄要小上十来岁吧。之后过了两三天，克莱姆教授（瑞典的大学联席主任，主要研究概率论、分析整数论）将与会者中与概率研究相关的差不多十名研究人员邀请到家里，举办了晚宴。与柯尔莫哥洛夫和杜布一同，我也受到了款待。

和柯尔莫哥洛夫再见就到了1978年。参加完国际数学家大会（赫尔辛基）之后，我又参加了概率统计国际学术研讨会（维尔纽斯、立陶宛、苏联），在归途中顺路去了莫斯科。当时我与瓦拉丹（Varadhan，纽约大学）和普罗霍洛夫（Prokhorov，苏联科学院）一起应柯尔莫哥洛夫的邀请，在克里姆林宫旁边的高级餐厅共进午餐。那段时间柯尔莫哥洛夫热心于高中的数学教育，他自己也聚集了很多优秀的学生并亲自授课。我听说这件事后，便询问了他授课内容。他回答我说主要是一些培养学生数学观察能力的内容，比如向学生展示简单的向量场（速度场）图，然后让学生用图来表示其积分曲线，或是思考具体的分支过程等。

第三次见面是在第比利斯（1983 年）召开的日苏概率统计研讨会上。那时他身体状况不佳，但还是进行了演讲，在宴会上也尽力炒热气氛，能看出年轻人对他十分敬仰。

柯尔莫哥洛夫几乎在数学的所有领域都有独特的想法，并引入了崭新的方法，虽然留下了优秀的成果，但他并没有高高在上，而是给人一种不修边幅的敦厚君子的感觉。这才是真正伟大的数学家。

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经历

柯尔莫哥洛夫在1903年出生于俄罗斯的坦波夫。他的父亲是一名农学家，母亲在他出生后不久便撒手人寰，他则是被他的姨母们带大的。柯尔莫哥洛夫在1920 年（17 岁）入读莫斯科大学以前，曾在铁路上做列车员，他利用闲暇时间撰写了关于牛顿的力学法则的论文。虽然这篇论文的原稿没有被保存下来，但我们依然能够想象他在少年时期就已经多么有才了。那时，正值俄国革命（1917 年）爆发，虽然我很想了解当时的环境究竟如何，但目前并无头绪。

1920年，柯尔莫哥洛夫正式进入莫斯科大学学习。他最初对俄国的历史抱有兴趣，曾就15世纪、16世纪的诺夫哥罗德的财产登记进行过调查。之后他又加入了斯特潘诺夫的傅里叶级数（三角级数）的研讨会，1922年他撰写的关于傅里叶级数、分析集合的著名论文（后面会叙述）震惊了数学界，在那之后他又以行空天马之势接连发表了重要的研究成果，并于1925年从莫斯科大学毕业，1931年评为莫斯科大学教授，1933年出任莫斯科大学数学研究所所长，1937年成为苏联科学院会员。直至1987年逝世，他都在数学的研究与教育领域贡献自己的力量。

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数学教育论

很多人知道柯尔莫哥洛夫在莫斯科大学培养了很多数学家，他们中有不少人已成为国际知名的学者，但柯尔莫哥洛夫其实还热衷于高中的数学教育，自己也会给学生上课，并深入思考数学教育应有的形式。

苏联的教育制度与日本的有所不同，分为小学（7 岁~10岁）、初中（11岁 ~14岁）、高中（15 岁~17岁）和大学（18岁~20岁）几个阶段。在大学，数学专业和物理专业是合并在一起的（数学与物理专业）。苏联的高中课程相当于日本高二到大学二年级的课程，大学课程则相当于日本的本科课程加研究生课程。与日本的旧制高中和大学十分相似。大学毕业时必须提交论文才能获得学位，获得的学位相当于日本的硕士。博士学位只授予此后能发表很多原创论文的优秀学生。

柯尔莫哥洛夫认为，有一些父母或教师会从10~12岁的学生中寻找具有数学才华的人，这种做法可能会毁掉学生的前途。但到了14~16岁这个年龄段，事情就大不相同了，学生会明确表现出对数学和物理的兴趣。根据柯尔莫哥洛夫在高中教数学和物理的经验，差不多有半数学生认为数学和物理对自身没什么实际应用价值。他认为针对这样的学生，课程的内容可以设置得简单一些。这样一来，另外一半学生（虽然这部分学生未来不可能都去读数学和物理专业）的数学教育也会有更好的效果。

在高中阶段，最好还是将数学、物理专业，工程学专业，生物、农业、医学专业，社会、经济学专业分开。只要稍稍增加一些每个专业主要学科的教学时间即可（比如数学多一小时，物理多一小时等）。这种做法也能收到显著效果。针对各专业的班级进行的教育可以让学生具有目的意识，但这并不会对范围更广的一般教育构成威胁。在革命初期兴盛起来的“统一劳动学校”这个口号意在废除带有阶级意识的学校，打破横亘在贫苦人面前的屏障，而非对个人能力的开发或特殊训练予以否定。

学习数学需要特殊才华这种说法在多数情况下是带有夸张成分的。人们觉得数学是一门非常难的科目，有时也是一些糟糕或是极端的教学方法所造成的。只要有优秀的教师和优秀的教科书，以普通人的能力完全可以应付高中数学，也能理解初级的微积分。

高中生在决定选择数学作为大学专业时，自然想要检验自己与数学这门学科的适配度。实际上，每个人理解（数学）推论、解决问题、进一步产生新发现的速度、困难程度和成功率都不相同。为了数学专业的教育，应以选择在数学上更容易取得成功的青年为目标。

与数学专业的适配度又是什么呢？柯尔莫哥洛夫认为是以下三点。

· 运算能力。可以将复杂的式子变形，或是能巧妙解出用一般方法无法解开的方程（背下很多定理或公式也无法具备的能力）。

· 有几何学上的直觉。就算是抽象事物，也能像亲眼看到的一样在头脑中描绘出来。

· 一步一步进行逻辑推理的能力。比如可以正确使用数学归纳法。

就算具备这些能力，如果没有对研究课题的热忱和每日不间断的研究也没有任何意义。

在大学的数学教育中，什么样的教师才算优秀呢？

（i） 授课能力强，能引用其他学科的例子，吸引学生的注意力。

（ii） 能通过有条理的说明和丰富的数学知识吸引学生。

（iii）可以成为优秀的辅导老师。能够充分认识到每个学生的能力，在学生的能力范围内为学生分派任务，使学生获得自信。

以上三点虽然都是评价标准，但理想的教师应该是最后一种类型的。

关于数学和物理学专业的学生接受的数学教育，除接受正规课程外，柯尔莫哥洛夫还特别强调了下面两点。

· 要让学生将函数分析掌握到可以像日常工具般自由使用。

· 重视实践。

第二点的意思我起初也不是很理解，最近问了一位以前在莫斯科大学跟柯尔莫哥洛夫学习过的学生，才知道实践是指给学生一些微分方程的系数或边界条件的具体数值，让学生调查其解的性质。

在学生开始进行研究时，首先要让他们拥有“我一定可以做些什么”的自信。因此，在给研究题目的时候，需要思考这个题目的重要性，还必须思考“这个研究能否帮助学生前进”“这个课题是不是在学生的能力范围之内，并且需要学生尽最大的努力才能研究出来”等问题。

以上就是柯尔莫哥洛夫的数学教育论的大致内容。柯尔莫哥洛夫不仅是一位伟大的数学家，还是一位伟大的教育家，更是一位伟大的思想家。

作者：[日] 伊藤清

译者：刘婷婷

沃尔夫奖、高斯奖得主，现代随机分析之父 日本数学大家 伊藤清

讲述数学思想与方法

激发关于概率与世界的深层

呈现日本数学发展的另类线索

本文经授权转载自微信公众号“图灵新知”。

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