当人们说“语句A可从语句集B逻辑地得出”，或“语句A是语句集B的逻辑后承”，或“以语句集B为前提以语句A为结论的推理是有效的”，他们的意思是什么？如何来刻画“逻辑后承”关系、“逻辑地得出”关系或“有效推理”这一概念无疑是逻辑哲学的核心任务之一。虽然逻辑学的发展已有两千多年的历史，但直到1936年，塔斯基在《论逻辑后承概念》一文中，才给出了影响深远的对直观的逻辑后承关系较为清晰的模型论刻画。

　　对逻辑后承关系刻画的一个尝试是证明论性质的：语句A是语句集B的逻辑后承当且仅当存在一些简单保真的推理规则， A可以从B反复使用这些推理规则推演出来。在塔斯基看来，这个刻画是不成功的。首先，根据哥德尔定理，给定一恰当算术公理系统，有此公理系统的真但不可证后承。其次，二阶逻辑相对于标准语义学来说是不完全的，一定有二阶理论真后承但不可证，进而用“可证”“可推演”概念来刻画“（直观的）逻辑后承”概念是过于狭窄的。

　　卡尔纳普在其1934年出版的《语言的逻辑构造》一书中对“逻辑后承”关系给出了下述刻画：语句A是语句集B的逻辑后承当且仅当任何包含语句集B且非A的语句集合都是矛盾的。塔斯基改进了卡尔纳普的刻画，指出一个充分的对“语句A是语句集B的逻辑后承”的定义要满足两个条件：第一，不可能性条件或必然性条件——不可能B中语句都真而A为假。“必然保真”应是任何逻辑后承刻画的核心。第二，形式条件——只是由于语句A及B中语句的逻辑形式才致使不可能B中语句都真而A为假，与语句的经验内容即语句中的非逻辑常量如名称与谓词指代哪个具体对象、哪个具体性质或关系无关。

　　举例来说，语句“存在一个对象是逻辑学家”是语句“塔斯基是逻辑学家”的逻辑后承。这是因为不论我们把“塔斯基”这个名字解释为哪个个体对象，不妨解释为柏拉图；也不论把“是逻辑学家”这个谓词解释为哪个性质，不妨解释为哲学家这个性质，都不可能在这种解释之下，语句“存在一个对象是逻辑学家”是假的，而语句“塔斯基是逻辑学家”是真的。因为在这种解释之下，“塔斯基是逻辑学家”的意思是柏拉图是哲学家，而“存在一个逻辑学家”的意思是存在一个哲学家，不可能“柏拉图是哲学家”为真而“存在一个哲学家”为假。语句“所有鸟都会飞”是语句“所有不会飞的都不是鸟”的逻辑后承，因为不论把非逻辑符号“鸟”“会飞”统一解释为哪种性质，如分别解释为“奇数”与“不能被二整除”两种性质，不会“所有奇数不能被二整除”为真且“所有能被二整除的都不是奇数”为假。一个逻辑后承关系或有效推理中的非逻辑符号被统一用相应类型对象解释后，不会前提为真且结论为假。形式逻辑之所以为“形式”逻辑，是因为抛弃了“内容”，就像算术等式（a2-b2）=（a+b）×（a-b）是数学真理，不论把“a”“b”解释为哪些具体的数，此算术形式或定律的任何特例都是真的。相似地，所有A都是B逻辑地等价于所有的非B都是非A，不论“A”与“B” 指代哪些性质，二者都不会出现一边为真另一边为假的情形。

　　为了刻画上述必然性条件与形式条件，塔斯基用数学模型概念给出了逻辑后承的刻画：语句A是语句集B的逻辑后承当且仅当任给模型即任给论域，任给非逻辑常量（专名、函数符号、谓词符号）的解释，不会语句集B中的所有语句在此解释下为真而语句A在此解释下为假。换言之，B的模型皆为A的模型。一个模型可视作一个可能世界，在前提为真的可能世界，结论也为真。这是“必然保真”的意涵。

　　塔斯基发现上述对逻辑后承的刻画依赖逻辑常量与非逻辑常量的划分，这个划分决定了语句的逻辑形式，逻辑常量比如“并非”“或者”“并且”“等于”“当且仅当”“所有”“存在”等语词是不可以随意解释的，而“柏拉图”“是逻辑学家”“是鸟”“会飞”这些名称或谓词是非逻辑常量，是可以随意用合适类型的对象解释的。对于如何区分逻辑常量与非逻辑常量，塔斯基在1966年的演讲“论逻辑常量”中给出了一种有趣的解答：在任意变换之下都保持不变的对象即为逻辑常量或逻辑对象。几何学家把双射函数称为变换，函数定义域与值域皆为平面或空间图形上的点，他们通常研究在某类变换之下的不变量，如平移、旋转、轴反射或翻转等正交变换都保持平面上两点的距离不变。究竟有哪些对象在任意变换下都保持不变呢？

　　考虑如下简单类型论的标准模型：模型的最底层为一类个体对象，这一类个体对象是最为基础的类型；模型的第二层为第一层个体对象组成的所有可能类；第三层为所有个体对象类组成的类，以此类推。考虑简单类型论标准模型最底层类到自身的任一双射变换，这样的变换自然地诱引或拓展为所有类型上的变换，可以考察在这样的双射变换下，哪一层的哪些对象在任意变换之下保持不变。不难看出，最低层个体对象个数若多于一个，没有不变量，因为总可把一个对象映射为另一个对象；在第二层，空集与全集是仅有的不变量，因为空集被双射映为空集，全集映射为全集；在第三层，恰好有n个元素的类所组成的类是不变量，因为n个元素组成的集合的映像也是有n个元素的集合。若按库拉托夫斯基方式定义有序对，进而把二元关系定义为有序对的集合，在第四层就可以考虑有序对的集合，在其中，相等关系、全关系、空关系、不等关系是不变量，比如相等的对象映射为相等的对象。在第四层，两个类之间的包含关系、相交不为空、不相交、互补关系皆为逻辑不变量。塔斯基建议在任何变换下都不变的对象即为逻辑常量。有趣的是，若把上述罗素式类型论模型作为变换的背景模型，属于关系是逻辑不变量，因相邻层级的对象间的属于关系在任意变换之下其映像也会保持属于关系。而在“平铺”的集合论宇宙模型背景下，属于关系不是逻辑常量。

　　塔斯基的逻辑后承理论已成为现代逻辑研究的基本工具，被广为接受。近些年，McGee、Sher以及 MacFarlane等逻辑学家都在讨论如何利用或修改塔斯基的不变量想法，来刻画常见的真值函数联结词、量词与各种模态词汇所代表的逻辑常量，以及探讨相应的刻画对逻辑后承概念带来的影响。

　　（作者单位：武汉理工大学哲学系）

• 来源：中国社会科学网-中国社会科学报

• 作者：杨海波