欢迎收看老明的频道。 1890年的一个深夜，意大利数学家皮亚诺发现了我们这个世界中一个无法解释的矛盾一个巨大的空间bug。起因非常简单，皮亚诺先用直线三等分创造了一个简单的曲线，然后他继续把三段平分的直线再次三等分，就形成了这样一个图形。皮亚诺觉得很有趣，他继续迭代，再次细分，这就是第三代，接着是第四代，第五代，第六代，第七代，第八代，第九代。到这里时，啊，这根曲线似乎已经填满了整个正方形。皮亚诺本能地觉得，如果无限迭代下去，这根曲线会通过正方形内所有的点。这是一个令人震惊的发现，这等于是说，这条曲线最终就是整个正方形。但是不对啊，他一开始只是一条线，一条线怎么能有面积呢？根本就说不通。这就是数学上有名的皮亚诺曲线，皮亚诺开启了一个人类从未知晓的奇特空间，这就是非整数维度。在1890年，没有人知道皮亚诺的发现意味着什么。 100多年过去了，数学家们才逐渐认识到皮亚诺曲线揭开了万物密码的研究工作，人们形容这门新科学为上帝的指纹。下面的视频就是这门新科学的代表图案曼德勃罗大佛。曼德勃罗佛是一个神秘的图形，与皮亚诺曲线一样，它可以不断地进行迭代，无论图形推进得如何细微，总是能从一片无序的图案中再次找到曼德布罗佛。这是一张大千世界里套着大千世界的图，它无穷无尽，然而曼德陀罗佛总在其中。这门新科学到底是什么？为什么说它无限地接近宇宙进化的本质？有关这个神奇的故事，我们还得从头说起。故事要从一位画家讲起，他的名字叫杰克逊，波洛克。布洛克是现代美术史上的重要人物，他画画儿就像是小孩子在地上胡乱的泼墨水儿。创作没有规划，作画没有固定的位置，他不断重复相同的动作，画出错乱的网，称为行动绘画派。这种画的高明之处一般人还真的理解不了。但是从上个世纪70年代开始，布洛克画的价格就不断地打破世界纪录，他有两幅画都成为了当时世界上最贵的画作。最近一次博洛克大展神威是2016年，他的画以两亿美元的价格成交，就是这幅1948年创作的第17 a号作品。有人会说了这种话有什么了不起的呢？给我三天的时间，我也能滴出一副。但是神奇的事情就在这里，世界上有很多人都试图模仿布洛克，然而就是画不出布洛克的精髓，波洛克的画中似乎有某种魔力让人深陷其中不能自拔，布洛克似乎触碰到了某种神秘的宇宙法则。时间来到1904年，在皮亚诺曲线被发现的14年后，瑞典数学家科赫也画出了一张神奇的图。他先画出了一个等边三角形，然后把每一条边儿都三等分，在中间的一段上再画出一个等边三角形，就变成了一个等边的六芒星。按照同样的规则就可以不断地迭代细分下去了。因为越细分，图像就越像雪花儿的形态。人们也称科赫发现的曲线为科赫雪花。但是很快，柯刻就因为自己的发现而困惑了。科赫雪花的面积肯定小于以等边三角形中心为圆心，顶点为半径的圆，无论它怎么迭代，它也跨不出这个圆。实际上，数学家们已经给出了科赫雪花的面积公式，但是课后雪花的周长却是无法计算的，因为这个图形的周长实际上是无限长。有的人开始错乱了，一个有限面积的图案怎么可能拥有无限的周长呢？这里面肯定有我们没有搞明白的问题。时间来到1918年，德国数学家豪斯多夫开始着手解决科赫雪花的悖论。他发现科赫雪花有极强的自相似性，它就从相似性入手。一维的图形就是一条线，可以把它看成有两条长度一半儿的线，组成的就是两个自身为1:2的对数比log二比log 2=1，所以是一维的。然后研究二维，一个长方形可以被对称的分成四个小长方形，就是四个自身为1:2的对数比log四比log 2=2，所以是二维的，然后是三维，一个立方体可以看成由八个等大的小立方体组成，就是八个自身为1:2的对数比log八比log 2=3，所以是三维的。明白这些，再来看科赫雪花儿，可以看成每一部分都是由四个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成的，也就是log个四比log三。诡异的事情出现了，我们熟悉的空间维度里居然出现了分数，科赫雪花的维度竟然是1.26维的，这就是豪斯多夫的重大发现，数学上称为豪斯多夫维数。数学是一门比较抽象的科学啊。那还有没有其他的方式来理解豪斯多夫维数呢？我们试着换一种容易理解的办法。其实科赫雪花的周长并不总是无限的，比如说啊，它迭代到第三次，第五次，无论图案多复杂，我们把所有的小辫儿都加上，肯定能够测量出周长，但是如果把时间维度加进去，整个性质就变了，因为科赫雪花在时间上可以无限的迭代，它的周长当然就是无限的了，所以科赫雪花的本质是一个非线性系统在时间上的演化行为。豪斯多夫尾数也可以看成是时间线上的空间纬度。前面讲的这些啊，都是准备工作，真正精彩的部分就要出现了。时间来到1975年夏天，法裔美国数学家和计算机专家曼德波罗灵光一闪，我们通常管这种现象叫做开悟了。曼德勃罗就在一个夏天的午夜开悟了，他以一己之力开创了一门全新的几何学，他自己命名为分形几何学。 1980年，曼德勃罗着手绘制出了一个分形学的代表性图案，就是这张令人惊叹无比的曼德勃罗集。曼德，博洛基看上去非常的复杂，但是它的数学公式却非常的简洁，就是zn加一等于zn的平方加上c，只要带进的点足够多，无论把图案放大多少倍，都能显示出更加复杂的结构。这些结构既与整体不同，又有某种相似的地方，图案具有无穷无尽的细节和自相似性。其实，分型的基础研究早在1890年发现皮亚诺曲线时就展开了，那为什么直到曼德勃罗才创造出了一个大门派呢？其实这和计算机的出现密不可分。曼德勃罗是一位通才，他还有一个身份非常重要ibm公司的终身院士，他也是一位计算机专家。曼德勃罗吉不能用手算，用手算要一个一个地去描点，那就太麻烦了，必须要使用计算机来计算并且绘图。所以分形学的产生一定要用计算机来做辅助。这就是曼德勃罗能够开宗立派的原因，因为它有丰富的计算机知识。曼德勃罗于2010年10月14日病逝，享年85岁。人们称赞他是过去50年里在数学领域和科学领域里最重要的人物之一。分形理论一出现就震惊了学界。分型似乎与我们所处的世界有着不可分割的联系。曼德勃罗有一段名言云不是球体，山不是圆锥体，海岸线不是圆形，树皮不是光滑的，闪电也不是直线传播的，它们都是简单而又复杂的分形。我们的世界充斥着分析。时间来到1980年晚期，飞机制造商波音公司的一位小工程师洛伦，卡彭特因为做图的事情头疼不已。波音公司要求他在电脑中生成连绵的山脉。然而，山脉到底是什么样子呢？是圆筒还是三角形？没有人知道。卡彭特就在平面上放置了100个大三角形，但是怎么看也不像是山脉，倒是有点像大金字塔，这可怎么办呢？就在卡彭特无计可施的时候，他看到了曼德博罗有关分形理论的书籍。卡彭特突然有了某种启示，如果说分型是真正描述大自然的几何学，能不能使用分形理论来制造山脉呢？卡彭特就发明了一种计算机的算法，它将大三角形分割成小的三角形，然后无限地细分下去。随着计算机的不断演算，神奇的事情出现了，广袤而崎岖的山脉出现了。当卡彭特在计算机图形学年会上展示他渲染的画面时，台下的观众顿时被震撼了，掌声经久不衰。过去人们从来没有见过这样的东西。这是人类动画史上的一次革命。卡彭特因其杰出的场景渲染能力，立刻被皮克斯公司招揽至旗下，成为联合创始人和首席科学家。接下来的事儿大家就都知道了，皮克斯凭借着超越时代的动画技术，成为全球最有影响力的动画公司之一。而这一切的起因就是卡彭特在无意之间接受了分形理论。可见，分型理论是一种描述宇宙万物生长的理论。虽然我们现在还没有找到万物生长的密码，但是人们已经可以使用曼德勃罗集来做非常近似的比喻。因为曼德勃罗集与宇宙生长的逻辑是相通的，所以人们也称曼德勃罗集为上帝的指纹。万物的起源是这样的，在138亿年前，宇宙大爆炸，宇宙在一开始有一组非常简单的生长密码，它可能比曼德波罗提的方程还要简单。万物生长方程必须要遵循一个原则，它要用集合方程解的形式来表示，也就是分析。我们的宇宙开始产生混沌，它不断地生长，出现了无穷无尽的细节，同时又有强烈的自相似性。我们每个人的生长也是混沌的，或多或少都长得不一样，但是我们的身体又有很多自相似性，像双螺旋的dna结构，血管儿，大脑的表面，这使我们既相似又绝对的不同。像我们的肺部器官就遵循着反复的树形分叉结构，为了在有限的体积内充分地吸收空气，肺部的表面积竟然差不多和网球场一样大，这就是分形的特点，无限细分，但只占很小的体积。科学家计算，肺泡的豪斯多夫维数大约为2.97。小到个体，大到自然万物，我们都处于混沌与分形之中。描述混沌与分形的关系，有一句特别经典的话，混沌是时间的分型，分型是空间上的混沌，混沌与分形是时空一体的。有关混沌学的理论啊，我也做过一期节目，感兴趣的朋友呢，可以去看一看。那有没有不存在混沌的地方呢？这是一个非常有趣的问题啊。科学家认为，在平行宇宙里可能存在着一个有序的宇宙，那会产生什么效果呢？有序往往就意味着死板，那个世界就会是一个套娃一样的世界，无论怎样生长，都是套娃，都长得一模一样。时间来到1999年，俄勒冈大学的物理学家理查德，泰勒对波洛克的画作着了迷，他不明白自己为什么可以一连几个小时盯着波洛克的画儿看，他利用数学研究，最终得到了答案。波洛克的作品其实就是分形几何儿，如果把整幅画放大，人们就会看到一个一个自相似的图形，如果继续放大，最终就会看到一个个燃料的斑点。布洛特的画里充满着不同的豪斯多夫维数，别的画作都是二维的，但是布洛克不一样，他的画里有各种各样的维度。波洛克的高明之处并不在于艺术，而在于数学，这就是波洛克的话打动人心的本质。他的画儿有点天人合一的味道，它在绘制我们这个世界的底层逻辑，也就是万物生长的密码。这也许就是波洛克的画儿成为世界上最贵的画作的主要原因吧。在节目的最后啊，我想再给大家展示一下曼德勃罗大佛。这个图形是曼德勃罗集以不同的计算方法渲染出来的，很多人认为这张图就像一个以冥想姿势坐着的人，额头上有印记，打着传统的头疾，留着卷发，与释迦牟尼佛有相似之处，所以取名为曼德勃罗佛。仔细地体会这张图啊，也许这就是宇宙的奥秘所在，即便是住在无住涅槃的佛陀，在十方世界也会有自相似的分形，那一个个微小的个体就是我们。从这个角度上看，你就是佛，佛就是你。