摘 要

声速测量实验广泛开设于各高校大学物理基础实验和物理专业实验中，其中利用声光效应研制出的超声光栅测量声速的方法因其精度高和易于操作已逐渐开始受到实验教学的应用和重视^[1,2]。该实验提供了一种准确测定声波在透明介质中传播速度的方法，并很好地帮助学生理解声光相互作用的物理过程。目前，大学物理实验中超声光栅法主要用于液体中声速测量，随着压电传感器技术的发展和新仪器的开发，逐渐扩展到对固体中声速测量的实验教学。据我们了解，受大学实验开设时限短的限制，各大高校对采用声光效应方法测量固体声速实验的相关研究和探索还鲜有报道。本文首先利用 LOSG-Ⅱ 型晶体声光效应实验仪对二氧化碲晶体材料的声速进行了实验测量，得到超声波声速数值，同时利用 MATLAB 软件对实验中产生的衍射图像进行识别和数据处理，得出更为精确的声速数值。在此基础上利用基于量子力学原理的密度泛函理论对二氧化碲晶体进行结构建模并通过计算其力学性质得到理论模拟声速值，与实验测量值进行对比和讨论。通过以上方法锻炼学生的实验操作能力以及利用 MATLAB 编程进行图像识别和学习高精度数据处理方法，同时利用晶体建模和模拟计算帮助学生从理论上深入理解声光效应实验现象和原理，为在大学中更好开展声光效应相关实验设计和理论模拟计算提供参考。

1 实验原理

当超声波通过某一种晶体介质时，该介质分子的电偶极矩发生变化，进而使介质的折射率发生周期性变化形成超声光栅。当光束通过存在超声波的介质后会产生衍射现象，该现象称为声光效应。图 1 是声光效应产生的衍射现象原理示意图，平行单色光垂直于声场传播的方向，当声光晶体长度较短及超声波的频率较低时，产生喇曼奈斯衍射^[3]。各级衍射角 θ 满足下列关系

其中，λ₀ 为入射激光波长，λ_s 为超声波波长，m = 0，±1，±2，±3，…表示级数，θ 表示 m 级与 0 级之间的夹角。一般情况下声光器件与白屏之间的距离 L 远大于零级与一级衍射光点距离 d，即衍射角 θ 比较小，因此衍射角 θ 满足下式关系

联立上述式(1)与式(2)，计算超声波波长 λ_s，把实验中读取的超声波频率 f_s 代入下式

即可求得声速 v_s。

2 声速测量实验

2.1 实验过程

本实验采用 LOSG-Ⅱ 型晶体声光效应实验仪（西安超凡光电设备有限公司）、He-Ne 激光器（波长为 632.8nm）、声光器件等仪器。声光器件是利用声光效应实现光信号处理的一类器件，其核心是声光晶体材料,本实验采用的压电晶体是铌酸锂（LiNbO₃），声光器件晶体是二氧化碲（TeO₂）。实验过程中按照图 2 所示安置好有关部件，让激光器、精密旋转台、带坐标纸的白屏依次排列在轨道上，声光器件固定在精密旋转台上，打开 He-Ne 激光器电源，调整声光器件在光路中的位置和光的入射角度，使光束穿过声光器件且使在白屏上出现对称位置的光点亮度相同，调整信号源输出功率到最大，同时调节信号源输出频率，使光屏上显示的光点最多，达到最佳的喇曼奈斯型衍射状态。采用坐标纸测距离的方法，对 ±1 级衍射光点的间隔 2d 进行读数。实验中从导轨上读出超声器件与白屏间距离 L= 455.0mm，然后调节超声波频率，使超声波的频率 f_s 从 90MHz 左右增大至频率计的最大频率（表 1），或超声波频率不变（116.401MHz）,距离 L 从 155mm 每隔 100mm 增加到 555mm（表 2），对上述两种方法得到的白屏现象拍照记录(如图 3 所示），利用坐标纸读数法读取 ±1 级衍射光点的间隔 2d，数据分别列于表 1 和表 2。

根据式（3）可以得到 2d 与 f_s 和 L 均成正比，对实验测量得到的表 1 和表 2 中数据进行拟合，分别作图 4 和图 5，然后得到斜率并代入式（3），计算得到改变频率条件下超声波声速为 v = 4158m/s，改变超声器件与白屏距离条件下超声波波速 v = 4047m/s。

2.2 Matlab 数据处理

肉眼测距的方法容易受到人眼主观视觉误差的影响，因此选用计算机图像识别技术进行数据处理更受人们青睐。计算机通过 MATLAB 软件编写代码实现对图 3 的图像进行识别，使图片数据化，读取坐标纸上坐标长度和光强信息，然后选取光强极大值对应的长度信息进而计算出声速。在 MATLAB 程序中输入超声器件与光屏的距离 L、超声信号源的频率 f_s 和 He-Ne 激光的波长 λ₀ 这些信息以及声速计算公式（3）式进行编程计算，得到一级衍射光栅点之间距离 2d 和超声波声速 v 的数值，数据如表 3 所示。

同理，根据表 3 数据拟合作图 6，得到计算机图像识别情况下的数据斜率值，以此求出改变频率条件下超声波声速为 v = 4221m/s。

2.3 理论计算

晶体材料的声速也可以通过晶体结构建模和力学性质计算得到，该计算工作采用基于密度泛函方法的从头算量子力学程序 Castep^[4] 完成。采用广义梯度 GGA/PBE 泛函，收敛精度 SCF 取 Ultra-fine，赝势选择 OTFG 超软 ( OTFG ultrasoft )。弹性常数 ( Elastic Constants ) 计算中每个应变的步骤数为 6，最大应变振幅为 0.03nm，平面波截断能设定为 570 eV，K-point 取 3×3×3。

经过 Castep 结构优化后，二氧化碲的晶胞结构如图 7 所示，属于正方晶系，点群对称为 422，元胞中包含 8 个氧和 4 个碲共 12 个原子。计算的晶格常数 a、b、c 和 α、β、γ 并列在表 4 中，与文献^[5,6]中的实验值和计算值均符合得很好。在此基础上对二氧化碲进行弹性常数的计算得到材料的体弹模量为 89.57GPa，代入声速的计算公式

其中，G 为材料的体弹模量，ρ 为材料密度^[7]，根据表 4 的晶格常数可以得到二氧化碲的体积，再根据晶胞中元素摩尔质量可得二氧化碲材料密度 ρ = 5.63g/cm³。代入公式（4）可得通过模拟计算的二氧化碲的超声波声速 v = 3987m/s。

3 实验对比分析

本工作中用声光实验、MATLAB 数据处理和纯理论计算三种方法得到的二氧化碲晶体声速数值列于表 5 中。和文献[8]中已有的二氧化碲沿（001）方向声速实验数据 4202±10m/s 进行对比，发现基于量子力学原理的 Castep 理论计算结果和参考实验值相差较大，两者差值为 215m/s，相对误差为 5.1%。Castep 软件计算结果是基于温度为 0K 基态条件，而实验结果一般都在室温情况下得到，我们进行实验时，当天实验室温度为 283K 左右。根据固体物理知识，固体中的声速随着温度发生变化，这是导致两者误差较大的主要原因。另一方面，本工作中通过肉眼读取坐标纸方法得到的两种声速分别为 4158m/s 和 4047m/s，参考值误差为 1.0%和 3.7%。而通过 MATLAB 编程识别衍射图方法得到的声速为 4221m/s，和文献中参考值最接近，误差仅为 0.5%。可见相对于肉眼测距方法，通过 MATLAB 程序识别图像得到的数据更为精确。图 3 坐标纸方法中最小刻度为 1mm，误差是在 0.1mm 级，2d 的数值也在 0.1mm 级别，所以通过肉眼读取 2d 时会出现较大误差。在 MATLAB 图像识别的数据处理中最小刻度值远远小于 1mm 级别，导致误差远远小于 0.1mm。因此采用计算机 MATLAB 图像识别方法可以有效提高声速测量值的精确度。在物理实验中引入 MATLAB 图像识别和计算机数据处理可以提高实验精度，锻炼学生的编程能力。同时通过第一性原理理论计算，可以进一步深入了解晶体几何结构和物理性质，阐明实验背后蕴含的物理原理，研究和探索线下实验、数值仿真和理论计算三位一体式新型物理实验课题教学模式，培养学生创新能力^[9]。

4 结语

本文通过线下实验、计算机技术以及晶体性质模拟计算分析等不同手段对超声波声速实验进行了系统的研究。在声光效应实验中，实验数据直接代入计算公式得到声速；Matlab 编程模拟是把实验得到的信息输入代码中得到声速；模拟计算通过建模和物理原理推算出对应的声速。通过对比声光效应肉眼数据处理、Matlab 编程模拟数据处理以及模拟计算三种方法，发现 Matlab 数据处理的实验结果更加精确的结论（误差在允许范围内）；随着科技的发展，计算机已经成了学习工作中必不可少的工具，计算机逐渐成为了如今学生的必修课。在超声光栅实验中把线下实验、Matlab 数据处理和理论计算这些过程结合起来不仅提高教学效率，还可以培养学生计算机处理数据能力。大学实验与现代科技的结合有利于实验的信息化建设，结合具体实验案例帮助学生对计算机编程、图像识别、Matlab 软件等知识了解学习，提高信息化创新能力。同时通过基于量子力学原理的晶体性质模拟软件对晶体进行建模和结构优化，进一步计算其物理性质，结合固体物理知识得到相关理论计算数据，并和实验结果进行对比，通过理论计算和分析有助于学生更深层次的了解晶体几何结构和实验背后的原理。本工作也可为超声光栅虚拟仿真平台的建设提供一定的参考价值。

参考文献

基金项目：2019 年华东理工大学教改项目（80222301901001）2019.01-2022.01；2020 年华东理工大学教师思政和师德建设研究课题（YK0109002）（重点）2020.09—2022.09.2021 年度大学生创新创业训练计划（S202110251115）。

通讯作者：张孟，男，华东理工大学副教授，从事大学物理教学工作，mzhang@mail.ecust.edu.cn。