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三角形中的“叛徒”，神奇的莱洛三角形

日期： 来源：中国科普博览收集编辑：
说到轮子，我们的第一反应是它的截面形状为圆形；提到三角形，我们容易联想到三角形的稳定性以及尖锐的角。把这两种性质结合一下，于是我们便得到了一种新的图形——莱洛三角形（Reuleaux triangle），又叫弧三角形。
关于莱洛三角形，有这样一个段子。青年问禅师：“大师，在单位，他们总嫌我棱角太突出，不合群！”禅师掏出数根圆柱铺在地上，在上面搁了一块木板，并推动它，说：“你看，轮子需要合作一致，才能保持所承载木板的平稳前进，你能找到棱角突出的形状也让木板平稳前进吗？”青年略一沉吟，默默地掏出一个莱洛三角形。

Part.1

                       

什么是莱洛三角形？

莱洛三角形最早在十九世纪由德国机械学家、数学家莱洛发现。要想得到莱洛三角形，首先需要画一个等边三角形，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，三角形边长为半径画圆，三圆重合的部分就是一个莱洛三角形。

图1 莱洛三角形的形成

Part.2

                       

莱洛三角形的性质

莱洛三角形是可以做车轮的，因为它是定宽曲线（Curve of constant width）。定宽性是指将一个曲线图形放在两条平行线中间，使图形的边与平行线相切，无论这个曲线图如何运动，只要它仍在这两条平行线内，那么这个图形将始终与这两条平行线相切。这就使得，当莱洛三角形被用作车轮时，上面的底座不会上下颠簸，而是像平常的轮子一样平稳前行。

图2 莱洛三角形的定宽性

图3 莱洛三角形截面的轮子
除了莱洛三角形，还有莱洛五边形、七边形等，只有正多边形的边数为奇数时，才会有对应的定宽图形。而多边形边数为偶数时，例如正方形、正六面体，此时是无法得到对应的定宽图形的。此外，我们最熟悉的圆，也是一种定宽图形。当这些图形的定宽相同时，所有等宽图形中圆的面积最大，莱洛三角形的面积最小。

图4 各种定宽图形

Part.3

                       

莱洛三角形的应用

在工业生产中，圆形的孔是很容易钻出来的，任意形状的钻头定轴转动，都可以打出圆孔。那么方形的孔要怎么打出来呢？这就需要用到莱洛三角形钻头。这种钻头的旋转轴稍微偏离几何中心，并且做着圆周运动，这时候钻头的边的运动轨迹近似为正方形，就可以非常容易打出方形孔。

图4 各种定宽图形
此外，莱洛三角形还被用于汽车发动机的转子。马自达著名的RX8的转子发动机，就是使用了莱洛三角形，把汽缸分成三个独立空间，三个空间各自先后完成进气、压缩、做功和排气。转子自转一周，发动机点火做功三次。而一般的圆形轴发动机每转两周才做一次功，这就大大提升了发动机的功率同时也减轻了发动机的重量。

图6 莱洛三角形转子
在生活中，我们经常使用的铅笔，也有莱洛三角形的影子。我们拿笔写字时，通常是三根手指拿笔，而莱洛三角形的每一边的弧线都能紧密接触一根手指，从而更好地控制笔。基于这种抓着力更强的机制，在设计幼儿专用铅笔的截面时，大多采用莱洛三角形。
图7 莱洛三角形截面的笔
今天力力就带大家了解到这里啦，最后留给大家一个小问题。除了圆形以外，还有什么形状的下水道盖不会掉入下水道？当然是今天学到的莱洛三角形啦，那真正的问题来了，为什么不用莱洛三角形做下水道井盖呢？欢迎大家留言评论哦！

参考文献:


[1]https://mp.weixin.qq.com/s/JYxjWnLfvjluqwuoIZp68A

[2]https://mp.weixin.qq.com/s/nG8mbvO7jUbVH_JU5BMVxg

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来源： 力学科普
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