赴美之前‍‍‍‍‍‍‍

我与周师伯的“数学情缘”

虽然当年我没有直接写信请求去当周修义教授的学生，但是我可以自豪地说，我与周师伯也有足够的“数学情缘”，不过这纯粹是通过他站在讲台上我坐在课桌后，历时一学年的课堂里“他是师我是生”的教学关系建立的。

在1986-1987这个学年，在李天岩教授的建议下，我正式修了周修义教授开设的《常微分方程》研究生课程。

周教授的博士论文导师约克教授只比他年长两岁，为何年纪轻轻就成了他的老师呢？这颇有戏剧性。约克于1966年在马里兰大学获得数学博士学位，遂留校执教，同时任职于数学系和流体力学与应用数学研究所。

过了不久，他的博士导师也成了周修义的博士导师，然而“人有旦夕祸福”，导师在38岁时不幸英年早逝。于是周博士生就转而拜“师兄”约克博士为师，尽管后者那时还只是一名助理教授。但是有眼光的青年才俊周修义已经预见到这个助理教授今后将成为著名教授。这个诠释中国成语“长子为父”的漂亮故事，是李天岩教授于1989 年 2 月16 日亲口告诉我的，此时周教授已搬到南方大城亚特兰大，在佐治亚理工学院担任动力系统与非线性研究中心主任。

那天下午，我所在的数学系为一位德高望重的老教授举办了一个庆功派对，李教授和我坐在一起，拉起了家常，他第一次告诉我近二十年前他是怎样当上约克教授的博士生的。他的师兄周修义就是这个数学姻缘的“媒人”！1969 年，当他进入马里兰大学数学系时，周修义还剩一年就将获得博士学位。准博士不仅早已预测到自己论文指导老师的辉煌前景，而且也看准了来自祖国宝岛的数学新人未来必能成器，于是就向约克教授推荐了李天岩当弟子。

在修周教授的课之前，我已经和他比较熟悉了。其实在我入学后第十一天的那个星期一，他的从访问学者摇身而变的博士研究生、被我们视作老大哥的王铎同我站在数学系二楼的走廊上讲话时，正巧看到他匆匆经过，于是就用英文将我简单地介绍了一句。身材不高的周教授1964年在新加坡国立大学毕业后，没有像1968年在台湾新竹清华大学毕业的李教授那样要当兵一年，就直奔美国攻读博士学位。虽然他较李教授年长两岁，看上去却比后者年纪更小，精巧的面孔、炯炯的目光，一看就知道是个能干之人，可以在任何领域有所建树。我在当晚的日记里简洁地写道：“周教授显得很年轻，他42岁左右。”

周修义教授对南大数学系的常微分方程研究团队比较熟悉，早在1982年，这个团队的领袖叶彦谦(1923-2007)先生专门邀请过周教授的亲密合作者、布朗大学的黑尔(Jack Hale，1928-2009)教授讲学三个月，听众为本系相关专业研究生、青年教师及全国各地动力系统领域的学者，黑尔教授于1985年秋还招去了叶先生的一位与我同届的硕士毕业生跟他读博士。叶先生60年代初带出的第一个研究生罗定军(1936-)老师1983年在布朗大学访问时首遇周教授，后者又邀请了也在访美的南大女数学家王明淑(1931-1984)老师做报告，专讲她推翻苏联数学家彼德罗夫斯基(Ivan Petrovsky，1901-1973)院士关于极限环个数的一个猜想的那个著名反例。王老师的大儿子就是我的大学同班同学田刚。之后，叶先生又请来周教授来南大短期访问讲学。最近罗教授告诉我期间的一件趣事，当周教授在黑板上写出王明淑老师的名字时，不小心将“淑”字中的中间和右端部分交换了位置。读了下一段，或许可以推理出为何他忘记怎么写某些汉字。

赴美不久后我第一次单独同周教授交谈时开始用的是母语，结果发现他与同门师弟李教授风格不太一样，到那时为止体型高大、生在福州长在台湾的李教授还未和我讲过一句洋文，跟我说的全是发音比我标准好几倍的“国语”，但身材不高五官精致、生在上海长在狮城的周教授对我吐出的全是英文。我只好马上改换语种。我想他是对的，刚到美国的大陆学生，应该全力以赴地训练好英文，这与丁肇中(1936-)先生对他实验室的中国访问学者行使的“语言逼迫法”是同一个道理。我那时进校后的第一个学季就是因为托福的听力成绩太低而未达到学校标准，被安排修英文听力课和与之搭配的写作课，居然还在见缝插针地对华人教授讲中文，实在是贪图嘴巴的舒服而缺乏事业上的远见，周教授积极地给我上了一堂“英文口语训练”课。

就是在那次交谈中，周教授的一句评述之语一下子把我镇住了，马上对他“肃然起敬”。因为我们聊到南大，我情不自禁地宣传起在国内高校中有举足轻重地位的数学系“常微分方程”研究团队，尤其是这支队伍最为人所知的强项领域——极限环理论；叶彦谦教授的专著《极限环论》于1964年出版，20年后他与合作者对此的修订增补本，在我出国那年被美国数学会翻译出版。然而，让我始料未及的是，正当我“洋洋得意”地数着南大数学的极限环时，周教授突然回了我一句：“Not many people do that！（没多少人做那个！）”这句话留给我深刻的印象，以至于半年后当周教授新开一门《常微分方程》课时，我注册了它，希望多学一点他和其他学者在这个领域做出了许多贡献的前沿知识。

我在中国读了四年本科和两年半的硕士研究生，注册过若干必修与选修课，但奇怪的是我几乎没有记过课堂笔记，不像我的一个同学何炳生那样几乎每门课笔记记得整整齐齐。一个原因或许是每堂课都有规定的教材，授课的老师基本也规规矩矩地按照教材讲，于是我就偷懒了不记笔记，但偶尔会在教科书的边境地带记上老师提到的但书中没有的重要内容。但是到了美国以后，许多教授上的课没有指定的教材，只给出几本参考书目，甚至无书参考，书就是教授拿在手中的几页备课材料，或者就是黑板上写了又擦、擦了又写连绵不断的近期成果。于是我开始“改邪归正”，记起了课堂笔记。

周教授和黑尔教授于1982年由德国斯普林格出版社出版过一本专著Methods of Bifurcation Theory（分支理论方法），但那也不是他为这一学年课《常微分方程》给我们指定的教科书，他只是选择了书中的一些章节作为部分知识，其他的内容来自近年来文献上出现的论文甚至刚刚完成的研究，所以他的书仅仅是我们的课外读本罢了。他的上课方式与我同时修的我的学术导师(Academic Advisor)颜宪尧(David Hsien-Yao Yen，1934-2011)教授开设的课《应用数学基础》不太一样。祖籍山东、先祖为孔子门徒颜回的颜教授虽然身材高大，讲课风格却如同他平常讲话一样轻声细语，他的书教得像潺潺流水，滋润心田，但难见波澜壮阔之举，覆盖的内容也不会离开教科书、林家翘(1916-2013)的经典名著Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences（《应用于自然科学中确定性问题的数学》）十万八千里。但是周教授的讲台表演则是天马行空，随心所欲，从大处着想而小节不拘，将课堂当成了常微分方程与动力系统的一个高级研讨班，讨论的是新论题，证明的是新结果。在黑板上推演的过程中他常常让我们帮帮忙，因为他忘记了下一步该用到的三角函数的某个恒等式。这就从某一方面佐证了日本菲尔兹奖获得者广中平佑(Hironaka Heisuke，1931-)在他的畅销书《创造之门》中所阐述的“忘光公式但获得智慧”的治学之道。记不得动也不动的公式又有什么关系呢？重要的是能够创造公式！我们学生最需要的是原始思想，而周教授向我们传授了做研究的哲学和方法！

周教授不仅展示了他独特的教学方法，而且连课程打分也很独特。我听说那门课他是这样计算学生的成绩的：只要递交了他布置过的家庭作业（那常常具有研究的味道，包括画出出人意料的相图等），无论做得好坏，他都基本上给A，否则则给B。也就是说修他的课，从理论上讲，即便一个婴儿，只要能注册此课，就能拿到B，因为婴儿当然是不会做作业的。周教授的课因为极具应用价值，注册的也有工程学院的研究生，如果他们面临的是期末闭卷考试，说不定复杂的数学论证会吓倒大部分，所以他们可能最欢迎这种打分标准了。姑且不论这种评分方式是否合理或太松，学生们却从这门课中，至少观赏到做研究的艺术。部分人甚至可以从这里起步，奔向热门研究的前沿阵地。真正将研究视为一切的教授往往在分数面前，对学生比较宽宏大量。而有些早已在研究阵地上丢枪弃甲的老教授，视分数为保持他们师道尊严的最后一张招牌，不肯轻易放松，学生平均分数89.5时，也只能得到倒霉的B而与A无缘。

我自己就从周修义教授的这门课中学到真谛。首先，它弥补了我赴美前的知识缺陷，从一个动力系统的门外汉开始登堂入室。著名的“庞加莱最后的定理”（圆环中保面积并将内外圆周反向旋转的微分同胚至少有两个不动点），我是第一次从这门课的习题中得知并领会其精神实质的。之后我又从导师李天岩教授的1988-1989学年课《[0, 1]上的遍历理论》中学到了遍历理论的经典和现代内容，以及计算遍历理论中的第一个算法——乌拉姆方法及其对它的“李天岩证明”，这些都是关于确定性系统概率性质的学问。没想到再过了一年，我的博士论文竟然告别了我的赴美初心——“同伦算法”，而以“一类Frobenius-Perron算子的有限逼近”为题写出。尽管我后来总与“映射”厮守在一起因此一直同离散动力系统为伍，但由于周教授的课堂传道而懂得了连续动力系统的基本理论，这大大提升了我的认知能力。几十年来，我从周修义和李天岩两位师兄弟教授的上述两门三学季课程中学到的东西，对我从博士论文起步的关于计算遍历理论的研究帮助极大，他们是让我一生受益的学术恩人。

能够得到周修义教授的教诲以及后来进入遍历理论的领域，除了扩大了我的知识范畴这个好处外，另一好处就是多交了学界朋友。出国前，我只能在从读硕士学位起进入的最优化领域里插上几句话，现在我也可以同动力系统的行家们聊聊天了。即便在读博士学位阶段，我就结识了来访周教授的北大数学家并从中获益，比如，我赴美后第一次参加校内春节联欢晚会时有幸与张芷芬(1927-)教授同桌相识并愉快交谈，第二年李承治(1943-)教授还代周教授上课给我们讲了他的研究成果。

赴美前我就受惠于周教授两个弟子的热忱帮助，赴美后我也受到他的与我同辈的弟子的影响。当我于1985年6月在中山大学首次见到做一周讲座的李天岩教授时，他就向我提到他系里的明星研究生、复旦大学77级本科的邓波，表达了对他的特别欣赏。到了我翌年初去了那里，邓波快要在周教授手中接到博士证书，而四川大学78级本科、82级硕士毕业的吕克宁已在上一年8月进入本系，他和另一个四川才俊郑德超在短短的十来天内，看了几份历史上的博士资格考卷子，就噼里啪啦马上通过了这个资格考，很快又通过了博士预备考。硕士阶段偏微分方程出身的吕克宁很自然地被周修义教授一把抓住，网罗门下，后来成了导师最得意的门生之一。

在吕克宁1988年随周教授从美国北方移居南方前，我们两人常在一起聊天，他对我的关心帮助不少。我们俩曾当过两年的中国学生学者联谊会生活部的共同部长，他在这个服务性工作中表现出的热心服务精神令我感动。在他的导师搬到南方工程名校佐治亚理工学院担任新建的非线性中心主任时，我就深感这是我们系很大的学术损失。本来，周教授雄心勃勃地想将黑尔教授从布朗大学挖来，共同在密歇根州立大学数学系建立动力系统研究中心，但是我听说本院院长最终没有批准他提出的方案，结果是他与黑尔教授双双加盟佐治亚理工学院，他当中心主任，另一个当讲座教授。吕克宁也像亚特兰大诞生的最伟大小说书名那样，“随风而去(Gone with the Wind)”地跟他走了，一同离开的自然还有周教授的其他弟子，包括北大数学系钱敏(1927-2019)教授的女学生沈文仙。

吕克宁曾经告诉我，他的导师周教授是个不折不扣的武侠小说谜，我虽然不知道我的导师李教授对武侠小说的痴迷程度有没有胜过师兄，可是当他90年代访问我时，听说我没有读过金庸的《射雕英雄传》，其吃惊的程度犹如听到谣传我在十来岁时没有读过“红宝书”。这个惊讶让我在之后的几年间每次回国都要扛回至少一套金庸小说，没想到除了我读完后消除了对武侠小说的偏见外，也让我女儿从大呼过瘾的亢奋阅读中掌握了中文，一箭双雕。吕克宁大概和师父一样爱读武侠，当2013年秋他和我们父女在南加州共进午餐时，席间他们大谈金庸，仿佛成了忘年之交。

80年代末，密歇根州立大学数学系痛失微分方程一俊杰，而佐治亚理工学院数学系却喜获动力系统一双雄。没出几年，这种各自得失显而易见，尤其是后者的得。担任数学系主任后，周教授大展宏图，广纳天下英豪，将佐治亚理工的全美数学排名从远落后于密歇根州立提升到一跳跨越超过，令人嘱目。我的博士母系，自然不甘落后，曾把周修义教授的优秀弟子吕克宁请回去当正教授，那几年他和“师叔”李天岩教授也发展了亦师亦友亲密无间的关系，直到李教授的离世。

2020年6月25日李天岩教授病逝后，在最后一周专程前往探视的我的师弟高堂安教授，给我电邮了导师在人生的边上写下的几纸只言片语。在那张手书Death will be a long wonderful nap（死亡将是一场漫长而美妙的午睡）的小纸片上，也记着周教授的手机号码和家里固定电话号码，旁边用繁体中文注明“修义”。

作为约克教授最杰出的弟子，他们都把钻研学问视为人生的最高追求，他们都把门下弟子视为自己的亲生儿女。他们各自带出的几十名华人博士，都将永远感谢他们的精心栽培。如今，周修义教授也驾鹤西去，他们这两位师兄弟已在天边重逢，共诉衷肠。谨以此文深切怀念我的师伯和老师周修义教授！

                                                                                     完稿于2023年3月6日星期一

                                                                                                   美国哈蒂斯堡夏日山庄

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