数学源于计数。

.整数家族

当人类需要计数羊的数量时，数字符号1，2，3，...就有了意义。为了表示不存在(无)，数字 0 应运而生。

这些数字符号，和我们周围的自然世界，似乎有着某种既神秘，又天然、和谐的对应关系。我们称 0，1，2，3...为自然数。

当两个自然数相加时，可以得到一个更大的自然数。

但当我们让两个自然数相减时，麻烦随之而来：

两个自然数相减，其结果不再是一个自然数。聪明的人类后来发明了负数，比如上面的减法结果是 -5。

至此，整数，这个完整的数字家族正式登场。整数，包含了负整数，0，正整数，他们就是整数家族的所有成员。

乘法与除法运算可以方便地处理解决分组问题。两个整数的乘法，其结果还是一个整数：

但是反过来做除法“分东西”时，有时候很愉快，比如：

不过，当一家6人分吃一个披萨时，数学表达难题会再度出现：

.整数家族的成员

我们来看看最愉快的情况。

当整数a，b做除法运算时，a÷b的结果可能是一个整数。这样“分东西”，大家皆大欢喜。这种情况下，就说a可以被b整除，把b称作是a的因子，或者约数。

比如 20÷4=5，我们说20可以被4整除，4是20的因子，或者叫做约数。

有了这样的定义，我们聚焦正整数，就有如下两点明显的结论：

1.任何正整数都肯定可以被自身整除。

2.任何正整数都可以被1整除。

正整数家族中的数字，一个特点于是彰显出来。

有一些正整数，只能被1和它自身整除，除此之外没有其他因子(约数)。比如，2，3，5，7，11，13，17，......

其余剩下的正整数部分，比如4，6，8，9，10，......，它们除了有1和自身这两个约数外，还有其他的因子。

根据这个特点，正整数家族成员被分为两大类：

1.只能被1和自身整除的，称作质数；

2.其余的正整数，即除了1和自身外，还有其他因子的，称作合数。

以上的说法，似乎回避了一个问题，1到底是质数还是合数呢？

在我们今天看来，1不是质数，也不是合数，其原因暂不解释。总之，正整数家族由三大类成员组成：

1.质数，如2，3，5，7，11，13，17，......

2.合数，如4，6，8，9，10，12，......

3.特殊成员 1，也被称为幺元(单元)，英文名作 unit

.算术基本定理

每个正整数都可以被因式分解为质数的乘积，并且这种分解方式是唯一的(不考虑数字顺序)。

这是一个简洁而伟大的发现，在今天的初中就能学到的基本定理。在此不做证明，我们仅举几个例子说明：

比如21， 可以分解为 3×7；再比如120，可以分解为 2×2×2×3×5。不考虑数字顺序，这种分解的方式是唯一的。

反过来看：

将质数组合一下，通过不同的组合方式就可以产生出所有的正整数了。这就像极了每一个质数都是不同的原子，不同原子的组合形成了神奇的物质世界。

.质数(原子)有多少个？

正整数的数量是无限多的，合数的数量也是无限多的。但作为数字家族的“原子”，质数也是无限的吗？如果不是，质数究竟有多少个？

为什么会存在这样的疑问？质数不应该也是无限的吗？

当我们观察质数时，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，......事实上，如果观察的列表够长，就能发现这样一个规律：

越往后，两个相邻的质数之间的差距越大。

这就自然有一种可能，会不会在数字大到一定程度后，再也不存在更大的质数了？于是，质数的数量就是有限的。

幸运的是，这个问题并不复杂，可以用一个简单的证伪(反证)来说明。

.让我们假设全部质数是有限的，总共有M个。

.因为是有限的，必然就存在一个最大(最后)的质数，假设这个最大质数是P

也就是说，“质数”家族是可以从小到大罗列出来的了：

2，3，5，7，.......，P

根据上面的算术基本定理，构造这样一个数字N：

现在，我们聚焦于N这个数字，看这样两个问题：

1. N一定是大于(远大于)P的，对吗？答案是肯定的，

2. N是质数？还是合数？

根据我们的假设：P是最后一个、也是最大的质数，所以N肯定不是质数的。

这么说来，N一定就是合数了。

于是，N一定有至少一个因子(质数)。但从N的构造方式，我们已经可以看到：

N无法整除 2，3，5，......，P 中任何一个质数(因子)，换句话说，根本就不存在这样一个因子。

一方面，根据假设N应该是合数；一方面，推论得到N根本不符合合数的特征，N不是合数。矛盾困境产生了！

这已经表明：我们关于存在最大质数P的假设根本就是错的！换言之，根本不存在最大的质数，质数的数量是无限多的。