设δ是从线性空间V到线性空间W的线性映射
向量空间V在线性映射δ之下的像是W的一个子空间，叫作δ的像，记作Im（δ）
即，Im（δ）=δ（V）
1、若δ是满射，则Im（δ）=W
证明：因为δ是满射，所以
任意ξ属于W，都存在η属于V，使得
δ（η）=ξ
再根据像空间的定义，可知
Im（δ）=W
2、若Im（δ）=W，则δ是满射
证明：假设δ不是满射，则
存在ξ属于W，不存在η属于V，使得
δ（η）=ξ，这与已知条件相互矛盾
所以，δ是满射
W的零子空间{0}在δ之下的原像是V的一个子空间，叫作δ的核，记作Ker(δ)
即，Ker(δ)={ξ∈V|δ(ξ)=0}
1、若δ是单射，则Ker(δ)={0}
证明：因为δ是单射，所以
任意ξ，η∈V，只要ξ≠η，那么
δ（ξ）≠δ（η）
所以，在V中只有0，才能使δ（0）=0
2、若Ker(δ)={0}，则δ是单射
证明：任意ξ，η属于V，如果δ（ξ）＝δ（η），那么
δ（ξ）-δ（η）=δ（ξ-η）=0
所以，ξ-η∈Ker(δ)={0}
即，ξ＝η
所以，δ是单射
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