这项工作中发展起来的线性响应理论根据底层非埃尔米特哈密顿量的特征模态和规范状态，全面表征了输出和输入信号（分别由绿色和黄色箭头表示）之间的关系。图片来源：Ramy El-Ganainy

线性分析在科学和工程中起着核心作用。即使在处理非线性系统时，了解线性响应对于深入了解潜在的复杂动力学通常也至关重要。近年来，人们对研究与周围水库交换能量的开放系统产生了浓厚的兴趣。特别是，已经证明，其光谱表现出非埃尔米特奇点的开放系统称为异常点，可以展示许多有趣的效果，并在构建新的激光器和传感器方面具有潜在的应用。

在特殊情况下，两种或模式变得完全相同。为了更好地理解这一点，让我们考虑一下鼓是如何产生声音的。滚筒的膜沿其周长固定，但在中间自由振动。

结果，膜可以以不同的方式移动，每种方式称为一种模式，并表现出不同的声音频率。当两种不同的模式以相同的频率振荡时，它们被称为退化。特殊点是非常奇特的简并，因为不仅模式的频率是相同的，而且振荡本身也是相同的。这些点只能存在于开放的、非埃尔米特系统中，而在封闭的埃尔米特系统中没有类似物。

在过去的几年中，对具有特殊点的非埃尔米特系统的散射系数的临时分析揭示了一个令人费解的结果。有时，它们的频率响应（输出信号与系统交互后输入信号之间的关系，作为输入信号频率的函数）可以是洛伦兹或超洛伦兹（即洛伦兹提高到整数次幂）。相反，标准线性、隔离振荡器的响应（不包括可能出现法诺线形的情况）始终是洛伦兹的。

由密歇根理工大学副教授Ramy El-Ganainy领导的一个国际物理学家团队在《自然通讯》最近发表的题为“具有特殊点的开放系统的线性响应理论”的文章中解决了这个问题。该团队对具有异常点的非埃尔米特系统的线性响应进行了系统分析。重要的是，它们为解析算子推导出一个闭式表达式，根据右和左特征向量以及与底层哈密顿量相关的乔丹规范向量来量化系统的响应。

“与先前在哈密顿算子本身方面的解析算子的扩展相反，这里开发的形式主义提供了对系统线性响应的直接访问，并准确地证明了洛伦兹和超洛伦兹响应何时以及如何出现，”El-Ganainy教授说。

“事实证明，响应的性质是由激励（输入）和收集（输出）通道决定的，”手稿的第一作者Amin Hashemi说。所提出的理论详细描述了这种行为，并且足够通用，可以应用于任何具有任意数量的任何顺序的异常点的非埃尔米特系统，这使得它有助于研究具有大自由度的非埃尔米特系统。

更多信息：A. Hashemi等人，具有特殊点的开放系统的线性响应理论，Nature Communications（2022）。DOI： 10.1038/s41467-022-30715-8

期刊信息：自然通讯