点关于直线的对称点计算，是一个高频使用的点，是必须要熟练掌握的一个工具，以便顺利的解决其他问题。

本文整理该问题的两个证明（你知道茴香豆的"茴"字有几种写法么？），并且推广至点关于面对称的情况。再给出论证之前，首先给出问题的描述。

问题陈述

设关于直线的对称点为，则

证明

命题的结果是一个公式，论证的过程就是计算的过程，这就需要挖掘条件，列出等式。而不同的思路，会有着不一样的计算。首先，给出的第一个证明，用到了两个重要的知识点：

点关于直线的对称点，两点连线垂直于直线；用向量来解析这一点。点关于直线的对称点，两点到直线的距离相等；这里要用点到直线的距离公式。证明方法一：当A、B、C都不为零时，点在直线l上，所以

由两个向量相互垂直，易知

即

当A、B都不为零,C为零时，在直线l上，所以

也即

令

则

因为P、Q关于直线l对称，所以P、Q到直线l的距离相等，所以

所以

解方程得

所以，此时命题获证。

当A或B等于零时，容易得知命题成立。

第二个证明的思路也很简单：过直线l外一点，作垂线，并给出该垂线的方程；联立直线l与其垂线的方程，求得交点；而交点恰好是点与其对称点的中点。

证明方法二：l的法向量(A,B)为直线PQ的方向向量，可设其直线方程为：

将上述方程带入直线l方程，解得交点坐标

因为P和Q对称，所以

故

推广：直线到平面

直线与平面的方程，在结构形式上非常的相似，简单的类比，可以仿写出：点关于平面的对称点公式。

设关于平面的对称点为，则

对于该问题的论证，有兴趣的老师、同学可以尝试一下！

应用：函数与反函数图像对称问题

相信高中的同学都知道一个结论：函数和它的反函数关于y=x对称。但很少有同学知道这个结论是怎么得到的？现在就是见证奇迹的时刻。

动画演示：“函数”与其“反函数”，关于“y=x”轴对称

套用上面的结论，函数上的一点关于的对称点为

到这里，相信你就能安心的使用函数与反函数对称的结论了。

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